Dynamique des cocques visqueuses: Théorie, modélisation numérique, et expériences en laboratoire // Dynamics of Thin Viscous Sheets: Theory, Numerical Modelling, and Experiments

Les coques minces visqueuses sont présentes dans nombre de contextes naturels, industriels ou issus de la vie de tous les jours. Citons comme exemples le repliement périodique d'une nappe tombante de sirop de sucre, le 'wrinkling' d'une bulle qui s'éclate à la surface d'un fluide visqueux, et la subduction de la lithosphère océanique qui se déforme de façon complexe lorsqu'elle plonge dans le manteau.

La dynamique des coques minces visqueuses est régie par deux modes de déformation, à savoir l'extension et la flexion. L'extension est résistée selon l'épaisseur de la coque, alors que la flexion elle est résistée selon l'épaisseur à la puissance trois. En général, la répartition des zones d'extension et de flexion dépend de façon compliquée de la forme de la coque et de la distribution des forces appliqueés (en volume, sur les arêtes et sur les surfaces).

L'objet de cette thèse est de développer de nouvelles approches numériques efficaces pour modéliser des comportements non-stationnaires des coques visqueuses. Cette tâche comporte deux parties: un probleme mécanique qui consiste en la résolution des équations d'equilibre des forces et des moments, et une partie cinétique où l'on calcule l'évolution dans le temps de la forme et de l'épaisseur de la coque. Pour la partie mécanique, nous utiliserons des 'shell elements' qui permettraient d'éviter le phénomène de 'locking', une rigidité artificiellement élévée lors de la déformation par étirement et/ou par cisaillement. Pour la partie cinétique, nous mettrons au point un algorithme implicite qui resterait stable for des grands pas de temps.

Deux cas seront etudiés: (1) Coques libres sans fluide externe. La déformation de tels objets est determinée entièrement par la force de gravité, les forces visqueuses internes, et les conditions aux arêtes (tension de surface). Le repliement périodique des nappes et le 'wrinkling' d'une bulle éclatée sont dans cette catégorie. Cette partie de la thèse comportera aussi des expériences en laboratoire sur le repliement périodique. (2) Coques minces immergées dans un autre fluide. La déformation de la coque est résistée par le fluide externe, dont l'écoulement doit être determiné au même temps. La subduction des plaques tectoniques est dans cette catégorie. On utilisera un approche developpé au FAST qui consiste à coupler la théorie des coques minces avec une représentation de type 'éléments aux frontières' de l'écoulement externe.
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Thin and highly deformable shells of viscous fluid occur in a variety of natural, industrial and domestic contexts. Examples include the periodic folding of a falling sheet of corn syrup, the wrinkling of a bursting bubble at the surface of a viscous fluid, and the subduction of oceanic lithosphere on the scale of the whole earth.

The essential dynamics of thin viscous sheets is that they can deform in two distinct ways: by stretching and by bending. Stretching is resisted in proportion to the sheet's thickness, whereas bending is resisted in proportion to the cube of the thickness. The partitioning of the deformation between stretching and bending depends on the sheet's geometry and on the distribution of forces (internal viscous forces, gravity, inertia, surface tension, and external tractions) acting on it.

The aim of the proposed thesis is to develop new numerical approaches that can be used to model complex time-dependent behavior of thin viscous shells. This general task comprises two sub-problems: a mechanical problem in which the equations of force and torque equilibrium are solved; and a kinematical part wherein the shape and thickness of the shell are advanced in time. For the mechanical part, we propose to discretize the shell using ‘shell elements' that avoid the phenomenon of ‘locking', an artificially high rigidity of the shell during deformation by stretching and/or shear. For the kinematical problem, we will develop an implicit algorithm that remains stable for large time steps.

Two distinct cases will be considered:

• Free sheets with no external fluid (other than air), so that externally imposed tractions are negligible. The phenomena of periodic folding and bubble wrinkling are in this class. This part of the project will include laboratory experiments on periodic folding of falling sheets for comparison with the numerical modelling.
• A shell immersed in a second fluid. The shell's deformation is resisted by the outer fluid, whose motion must be determined as part of the solution. Necking/tearing of subducted lithosphere is in this class. We will tackle this problem using an approach developed at FAST in which thin-shell theory is coupled with a boundary-integral representation of the outer flow.
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Début de la thèse : 01/10/2024

Programme pour normalien ENS Paris-Saclay

Université Paris-Saclay GS Sciences de l'ingénierie et des systèmes

579 Sciences Mécaniques et Energétiques, Matériaux et Géosciences

Une solide formation en physique et en mécanique des fluides est nécessaire, ainsi qu'un goût pour la modélisation. La connaissance d'un langage de programmation tel que Fortran ou C++ serait appréciée mais n'est pas indispensable.
Candidates should have a strong background in physics and fluid mechanics, and should take pleasure in theoretical work. Some knowledge of a computer language such as Fortran or C++ would be useful but is not required.