Modèles aléatoires critiques inhomogènes // Inhomogeneous critical random models

Le but de ce sujet de thèse est d'étudier comment certains résultats classiques en percolation planaire, et pour des modèles similaires, se généralisent au cas de modèles qui ne sont pas invariants par translation, avec comme motivation d'établir des outils permettant d'attaquer les conjectures d'universalité et d'invariance conforme qui constituent des problèmes ouverts majeurs en mécanique statistique.

Plus spécifiquement, dans le cas de la percolation de Bernoulli critique sur le réseau carré, un résultat fondateur de Russo, Seymour et Welsh énonce que la probabilité d'existence d'un chemin ouvert traversant un rectangle est bornée inférieurement par une constante ne dépendant que de la forme du rectangle mais pas de sa taille; ceci est à la base d'une grande partie de la compréhension mathématique du modèle au point critique. Comme démontré par Tassion et Kohler-Schindler, ces estimées se généralisent à tout modèle corrélé positivement et ergodique, mais l'invariance par translation est une hypothèse cruciale dans toutes les preuves connues.

De manière générale, comprendre le comportement de modèles inhomogènes est toujours difficile. Quand l'inhomogénéité est elle-même aléatoire et sui une loi ergodique, cela revient à la comparaison quenched/annealed pour laquelle des outils par exemple de concentration peuvent s'appliquer. Dans des cas plus généraux, il ne reste plus beaucoup d'outils à appliquer.

In premier cas d'école sera celui de deux modèles critiques homogènes, par exemple la percolation critique sur deux réseaux différents, restreints chacun à un demi-plan, et recollés entre eux le long de l'interface. Les propriété topologiques macroscopiques du modèle obtenu peuvent être déterminées à partir de celle des deux demi-plans, mais recoudre entre eux des clusters de percolation est deelicat et demande une bonne compréhension de leur structure locale.

Un second modèle, plus compliqué mais de fait moins artificiel, est le champ de Bargman-Fock planaire inhomogène, que l'on peut définir comme suit : on considère l'équation de la chaleur inhomogène, décrite par une fonction lisse positive g en facteur du laplacien, et avec comme condition initiale un bruit blanc. Quand la fonction g est constante, on obtient un champ gaussien lisse, centré, bien décorrélé dont le signe peut être étudié comme un modèle de percolation. Quand la fonction n'est pas constante, pour des temps petits la solution resemble localement au modèle homogène et on peut encore un fois essayer d'obtenir des informations globales en recollant ces 'patchs' l'un à l'autre. Comprendre le cas particulier où la fonction g est le module de la dérivée d'une fonction holomorphe donnerait des informations sur l'invariance conforme du modèle homogène.
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The aim of the PhD topic is to investigate how classical results about critical two-dimensional percolation, and related models, generalize in the case of non translation invariant models, with the motivation of gathering tools to address the questions of universality and conformal invariance which constitute major open questions in the field of statistical physics.

More specifically, for critical Bernoulli percolation on the square grid, a foundational result by Russo, Seymour and Welsh states that the crossing probability of a rectangle is bounded below by a positive constant depending on the shape, but not on the size of the rectangle, and this is at the basis of mathematical understanding of scale invariance and criticality. As shown by Tassion and Kohler-Schindler, the result extends to every random model in dimension two satisfying positive association and ergodicity, but translation invariance is crucial in every known proof.

In general, understanding of inhomogeneous, non translation invariant models is limited. When the inhomogeneity is sampled according to a random process which is itself ergodic, this amounts to comparing the quenched and annealed versions of a process in random environment, and tools such as concentration of measure apply. In the more general case, not many tools are left available.

A first test-case is that of locally homogeneous models, such as the lattice model obtain by defining critical Bernoulli percolation on two half-planes discretized by two different lattices (or, by the same lattice at different scales) and gluing those along a seam. Global connectivity properties of the model can then be derived from those in the half-planes, but such sewing of random clusters is delicate and requires detailed knowledge of the geometry of random clusters.

A second, more involved model will be the Bargman-Fock field in a non-constant metric in the plane, which can be defined as follows. Consider the heat equation in the plane, with a smooth positive function g as multiplicative factor in front of the Laplacian, and with initial condition given by a white noise. When g is constant, the solution at any given time is a stationary, smooth, centred Gaussian field whose sign can be seen as a continuous percolative model. When g is not constant, at small times the solution nevertheless looks similar to the homogeneous case over small domains so the local behavior is following the homogeneous case, and again the issue to obtain macroscopic features is gluing well-understood 'patches' to each other. Understanding the case where g is the modulus of the derivative of a holomorphic function would shed light on conformal invariance for the homogeneous model.
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Début de la thèse : 01/10/2026

Concours allocations

Université Grenoble Alpes

217 MSTII - Mathématiques, Sciences et technologies de l'information, Informatique

M2 en probabilités, connaissances en mécanique statistique et en analyse complexe
Masters with a probability major, and knowledge in statistical mechanics and complex analysis