Analyse sur des espaces singuliers à poids // Analysis on a class of weighted singular spaces

Le projet comporte deux axes de recherche, qui partagent quelques similarités au niveau des méthodes employées et du contexte général.

Le contexte géométrique est celui des espaces stratifiés à poids. Le cas le plus simple de tel espace est une variété Riemannienne avec un nombre fini de singularités coniques. Ces espaces forment une classe d'espaces dont la complexité de l'ensemble singulier reste relativement simple, mais dont la malgré tout la géométrie est riche. On sait de plus que certains de ces espaces sont en fait des espaces RCD - une classe d'espaces singuliers qui a été introduite il y a une vingtaine d'années indépendamment par J. Lott-C. Villani d'une part, et K. T. Sturm d'autre part, et intensivement étudiée depuis. Un des intérêts majeurs des espaces stratifiés que nous souhaitons considérer est que dans certains régimes, d'après des travaux récents d'I. Gentil, L. Dupaigne et S. Zugmeyer, ils sortent du cadre des espaces RCD, et ainsi leur étude pourrait fournir des pistes pour généraliser la théorie des espaces RCD dans certaines directions.

Le premier axe de recherche est relié au problème de Yamabe, qui s'inscrit dans le contexte plus général de trouver des métriques à courbure constantes sur les variétés. Dans les années 60, Yamabe a proposé de minimiser la fonctionnelle d'Einstein-Hilbert dans la classe conforme d'une métrique d'une variété Riemannienne compacte donnée, afin d'obtenir une métrique de courbure (scalaire) constante sur cette même variété. Après des travaux fondateurs de T. Aubin dans les années 70, R. Schoen a finalement résolu par l'affirmative le problème de Yamabe sur les variétés compactes lisses au début des années 80. La preuve passe par l'étude d'un invariant, l'invariant de Yamabe ; lorsque cet invariant est strictement inférieur à celui de l'espace modèle (la sphère), T. Aubin montre en utilisant des méthodes de concentration qu'une métrique extrémale (donc à courbure scalaire constante) existe. R. Schoen a quant à lui montré que la seule variété compacte lisse réalisant le cas d'égalité est la sphère, grâce à un théorème de masse positive en relativité générale.
Nous proposons d'étudier des questions similaires dans le contexte des variétés stratifiées à poids, où une notion de courbure scalaire à poids peut être définie. Certaines questions que nous souhaitons aborder dans cette thèse sont les suivantes :

Si l'invariant de Yamabe est strictement inférieur à l'invariant de Yamabe de certains «modèleslocaux» des singularités, existe-t-il une métrique extrémale ?
Peut-on calculer l'invariant de Yamabe des espaces modèles locaux ?
Y a-t-il unicité de la métrique à courbure scalaire à poids constante dans la classe conforme ?
Peut-on caractériser les espaces stratifiés à poids tels que l'invariant de Yamabe local et l'invariant de Yamabe global coïncident ?

Le deuxième axe de recherche concerne des questions d'analyse harmonique sur les espaces stratifiés à poids. Plus précisément, on étudiera des opérateurs d'intégrale singulière tels que la transformée de Riesz sur les espaces Lp. Ces opérateurs sont fortement reliés à la théorie de la régularité elliptique Lp pour les équations non-linéaires, qui sera aussi utile dans le contexte du premier axe de recherche. Dans un contexte géométrique, il est connu depuis les travaux de D. Bakry dans les années 80 que la courbure joue un rôle pour montrer que ces opérateurs sont bornés sur les espaces Lp. De plus, pour le Laplacien avec différentes conditions de bord sur des domaines de l'espace euclidien, on sait d'après les travaux de D. Jerison et C. Kenig que l'intervalle des p pour lesquels la transformée de Riesz est bornée dépend de la régularité du domaines. Nous souhaitons poursuivre ces questions dans le contexte des espaces stratifiés à poids, compacts ou non, et généraliser au cas des transformées de Riesz sur les formes différentielles.
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This project deals with various questions in analysis and geometry on weighted singular manifolds. It contains two distinct research directions, which share some similarities in the methods and at the level of the general context considered.

The spaces we wish to consider are weighted stratified spaces. The simplest example is a Riemannian manifold with a finite number of conical singularities. These spaces have a singular set which is still of limited complexity, but in spite of that, their geometry turns out to be quite rich. Moreover, some of these spaces are in fact RCD spaces - a very well-known and well-studied class of singular spaces introduced twenty years ago by J. Lott-C. Villani and K. T. Sturm. One of the major motivations for the study of weighted stratified spaces is that in some cases, according to recent works of I. Gentil, L. Dupaigne and S. Zugmeyer, they do not belong to the RCD class, while retaining some properties of RCD spaces. Their study could therefore pave the way to a possible generalisation of the RCD class.

The first research direction is connected to the Yamabe problem, which is part of the more general question of obtaining metrics of constant curvature on Riemannian manifolds. In the sixties, Yamabe proposed to minimise the Einstein-Hilbert functional in the conformal class of a given metric, in order to find a metric with constant scalar curvature. After celebrated works of T. Aubin in seventies, R. Schoen finally fully solved (positively) this question in the eighties. For the proof, an invariant (the Yamabe invariant) is introduced and studied. When this invariant is lower than the one of the model space (the sphere), T. Aubin shows that an extremal metric with constant scalar curvature exists. R. Schoen later showed, using a positive mass theorem from general relativity, that the sphere is the only case for which the Yamabe invariant is equal to the one of the model space.
We wish to study similar question in the context of weighted stratified spaces, for which a notion of weighted scalar curvature can be defined. Some of the questions we wish to investigate are the following:

If the Yamabe invariant is lower than the Yamabe invariant of some ‘local model' of the singularities, does there exist an extremal metric?
Can one compute explicitly the Yamabe invariant of these local models?
Is there uniqueness of the metric with constant weighted scalar curvature in a conformal class?
Can one characterise the weighted stratified spaces for which the local and the global Yamabe invariant are equal?

The second research direction is about harmonic analysis on weighted stratified spaces. More precisely, we wish to study the action of some singular integral operators such as the Riesz transform on Lp spaces. These operators are closely connected to the elliptic regularity theory in Lp spaces for non-linear equations, which will be useful as well to deal with the first direction of research. In a geometric context, it is known since the work of D. Bakry in eighties that the curvature plays a prominent rôle to study these operators. Moreover, for the Laplacian with various boundary conditions on domains of the Euclidean space, we know thanks to work of D. Jerison and C. Kenig that the interval of p's such that the Riesz transform is bounded on Lp depends on the regularity of the domain. We wish to investigate this kind of questions in the context of weighted stratified spaces, compact or not, and generalise to the case of Riesz transforms on differential forms.
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Début de la thèse : 01/10/2025

Concours allocations

Université Grenoble Alpes

217 MSTII - Mathématiques, Sciences et technologies de l'information, Informatique

Nous recherchons un ou une candidate ayant des compétences solides en analyse géométrique : une certaine familiarité avec l'analyse des équations aux dérivées partielles sur les variétés et une connaissance des résultats classiques de géométrie Riemannienne, notamment. Idéalement, le ou la candidate aura fait un stage de M2 dans le domaine.
We are looking for a candidate having a solid background in the field of geometric analysis: some familiarity with the analysis of partial differential equations on manifolds, and good understanding of classical results in Riemannian geometry. Ideally, the candidate will have already done an Master 2 internship in the field.