Méthodes de sélection et d’interpolation de maillage pour la simulation numérique

Le travail sera encadré par Olivier Le Maıtre et P.M. Congedo.
Le travail de déroulera dans l’équipe Platon, équipe de recherche commune à l’Ecole Polytechnique, le CNRS et Inria, au sein du Centre de Mathématiques Appliquées (CMAP) de l’Ecole
Polytechnique.

Contexte 

La conception, l’optimisation et la quantification des incertitudes dans les simulations numériques requièrent de nombreuses évaluations d’un même modèle sous différentes conditions (paramètres physiques, for¸cages, conditions aux limites, etc.). Lorsque la solution du modèle présente des structures fines et localisées, l’adaptation de maillage constitue une approche particulièrement efficace pour réduire les coûts de calcul tout en maintenant un contrˆole rigoureux de l’erreur d’approximation.
Cependant, répéter cette adaptation à chaque nouvelle configuration entraîne une surcharge computationnelle importante. Ce constat motive la recherche de stratégies plus efficaces pour traiter de multiples simulations. Une approche fréquemment utilisée dans l’industrie consiste à réutiliser, pour toutes les conditions, un maillage adapté à une configuration de référence. Si cette méthode donne des résultats satisfaisants lorsque les variations de la solution sont limitées, elle devient inadaptée dans le cas de fortes dépendances paramétriques, car elle ne permet plus de maˆıtriser l’erreur de discrétisation. La construction d’un maillage moyen adapté à un ensemble de conditions a récemment été proposée comme alternative, mais elle perd en efficacité lorsque les besoins locaux en raffinement varient fortement. Cette approche tend en effet à produire des maillages uniformément raffinés, ce qui limite l’intérˆet de l’adaptation [1]. Pour pallier cette limite, la mise en place d’une bibliothèque de maillages adaptés à différentes conditions a été explorée dans [2]. Le principal enjeu réside alors dans le choix, au sein de cette bibliothèque, du maillage le mieux adapté à une nouvelle configuration, afin de minimiser l’erreur de calcul. Plus récemment, la thèse d’Hugo Dornier [3,4] a introduit une méthode d’interpolation de maillage fondée sur le transport optimal, permettant de générer un maillage intermédiaire mieux adapté aux nouvelles conditions et de réduire ainsi l’erreur liée à la sélection directe.

Objectifs

Les travaux menés dans [2] ont montré que la qualité de la bibliothèque de maillages influe directement sur la précision moyenne des simulations : une bibliothèque plus riche conduit à une erreur globale plus faible. Cependant, la constitution d’une telle bibliothèque peut être coûteuse en temps de calcul et en mémoire. Un premier axe de travail consistera à développer des procédures séquentielles de construction optimisée de la bibliothèque, permettant de déterminer le nombre minimal d’adaptations nécessaires pour atteindre un objectif de précision donné. Ces travaux s’appuieront sur les modèles d’erreur développés dans le cadre de la sélection et sur les stratégies séquentielles déjà explorées par l’équipe Platon dans d’autres contextes. En parallèle du premier axe de travail, une recherche plus exploratoire portera sur interpolation de maillage. Introduite dans [3], cette nouvelle approche présente de nombreuses pistes d’amélioration. Si l’interpolation par transport optimal des représentants de maillage est aujourd’hui bien établie [4], la reconstruction du maillage complet à partir de ces représentants offre de multiples perspectives de recherche que le ou la stagiare pourra explorer. Parmi les directions envisagées :
• La reconstruction progressive dans des espaces de maillages hiérarchiques ;
• L’interpolation directe entre arbres de maillage ;
• La reconstruction de maillages non structurés et anisotropes ;
• L’adaptation de la méthode à des géométries complexes ou variables (géométries non convexes, frontières internes, etc.), en lien avec des applications industrielles spécifiques.

Bibliographie

[1] H. Dornier, O.P. Le Maıtre, P.M. Congedo, I. Salah el Din, J. Marty, S. Bourasseau, Mean Mesh Adaptation for Efficient CFD Simulations with Operating Conditions Variability, Computers
and Fluids, 298, 106666 (2025).
[2] H. Dornier, O.P. Le Maıtre, P.M. Congedo, I. Salah el Din, J. Marty, S. Bourasseau, Error Based Mesh Selection for Efficient Numerical Simulations under Parametric Uncertainty, (submitted).
[3] H. Dornier, Development of Adaptive Mesh Refinement Strategies for Problems with Variable Parameters, (Dec. 2025).
[4] H. Dornier, O.P. Le Maıtre, P.M. Congedo, Optimal Transport Interpolation of Adapted Meshes for Simulations with Parametric Uncertainty, (in preparation).

Les candidats doivent être étudiant de Master en mathématiques Appliquées ou domaine connexes.
La durée du stage envisagée est de 6 mois et pourra déboucher sur la poursuite en thèse. Les candidats doivent envoyer un CV et une lettre de motivation par email à O. Le Maıtre
(olivier.le-maitre [at] polytechnique.edu)