Théorie minimax pour les contraintes de forme et de régularité // Minimax theory for shape and smoothness constraints

En estimation non-paramétrique, deux types d'hypothèses sur la fonction cible sont généralement considérés. La première concerne sa régularité, la deuxième porte sur sa forme. Dans de nombreuses situations, la fonction satisfait les deux hypothèses simultanément (au moins sur un domaine adéquat). L'objectif de ce travail de thèse est de proposer des solutions optimales aux problématiques statistiques qui découlent de cette observation, et de contribuer ainsi à la théorie minimax.

Cette dernière s'avère être très peu développée sur le sujet. Elle fournit néanmoins un cadre théorique important pour évaluer la qualité des estimateurs. Une question naturelle dans ce contexte est de pouvoir mesurer l'effet conjoint des deux contraintes, ce qui peut se faire en étudiant les vitesses minimax. Cet effet peut être bénéfique, comme cela a été montré dans [1,2].

Le candidat poursuivra cette analyse dans d'autres cadres statistiques fondamentaux dont certains pour lesquels les données ne sont pas directement accessibles. Il considérera des hypothèses réalistes et fines sur la fonction à estimer. Ce sujet s'inscrit ainsi aussi dans la dynamique du domaine de l'estimation non-paramétrique où des auteurs cherchent à s'affranchir des hypothèses simplificatrices de la littérature. Une première approche pour traiter le sujet consiste à s'appuyer sur la classe d'estimateurs optimaux proposée dans [3] où les données étaient directement accessibles.

Le candidat devra apprendre à maîtriser les outils provenant d'autres domaines tels que des outils probabilistes et ceux de la théorie de l'approximation. Une des conséquences de son travail est qu'il pourra aussi évaluer la performance des estimateurs existants à la lumière des nouvelles vitesses minimax qu'il aura découvertes.
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In nonparametric estimation, two types of assumptions on the target function are generally considered. The first concerns its regularity, and the second concerns its shape. In many situations, the function satisfies both assumptions simultaneously (at least on a suitable domain). The objective of this PhD project is to develop optimal solutions to the statistical problems that arise from this observation, thereby contributing to the minimax theory.

This theory is sparsely developed on this topic, even though it provides an essential theoretical framework for assessing the quality of estimators. A natural question in this context is to quantify the joint effect of the two types of constraints, which can be achieved by studying minimax rates. This joint effect can be beneficial, as shown in [1,2]

The candidate will extend this analysis to other fundamental statistical settings, including some in which the data are not directly observable. He or she will consider realistic and refined assumptions on the function to be estimated. This project is thus also aligned with current developments in nonparametric estimation, in which several authors aim to move beyond the simplifying assumptions traditionally used in the literature. A first approach to addressing the problem is to build upon the class of optimal estimators introduced in [3] where the data were directly observable.

The candidate will need to learn and master tools from related areas, such as probabilistic techniques and approximation theory. One consequence of this work is that it will also enable the evaluation of existing estimators in light of the new minimax rates that will have been established
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Début de la thèse : 01/10/2026

Public funding alone (i.e. government, region, European, international organization research grant)

Concours pour un contrat doctoral

Université Jean Monnet Saint-Etienne

488 SIS - Sciences Ingénierie Santé

Etudiants en cours ou ayant réalisé un M2 ayant un niveau solide en mathématiques. Les candidats intéressés sont invités à contacter Mathieu Sart à mathieu.sart@univ-st-etienne.fr
Students currently enrolled in or who have completed a Master's degree with a strong background in mathematics. Interested candidates are invited to contact Mathieu Sart at mathieu.sart@univ-st-etienne.fr.