Diffraction des ondes par des obstacles avec des bords fractals // Acoustic scattering by fractal surfaces

Un problème classique dans l'étude de la propagation des ondes acoustiques, électromagnétiques et élastiques est la diffusion d'une onde incidente harmonique dans le temps par un écran mince (ou « fissure »). Dans les analyses standard, l'ensemble de diffusion est généralement supposé, explicitement ou implicitement, être un sous-ensemble d'un hyperplan de l'espace ambiant, avec une frontière lisse.

Dans une série d'articles récents [2,3,4], il a été démontré que les problèmes de valeur limite bien posés et les formulations d'équations intégrales limites associées pour le problème de diffusion par écran acoustique peuvent être rigoureusement formulés, analysés, discrétisés et résolus pour des écrans hautement irréguliers. Plus précisément, ces travaux permettent de prendre en compte des écrans dont les limites possèdent une structure fractale auto-similaire, et où l'écran lui-même est une fractale auto-similaire.

L'étude de la diffusion des ondes par des structures fractales au-delà du cadre auto-similaire, par exemple les fractales auto-conformes, auto-affines ou aléatoires, est non seulement intéressante d'un point de vue mathématique, mais elle a également des applications très actuelles. Celles-ci comprennent la diffusion des ondes électromagnétiques par des agrégats complexes de cristaux de glace dans les sciences météorologiques et climatiques [10], ainsi que la modélisation et la conception d'antennes fractales en génie électrique [12]. Nous notons ici que, dans les applications pratiques, les objets physiques ne présentent généralement qu'un nombre fini de structures qui se répètent à plusieurs échelles. Néanmoins, les fractales fournissent un cadre mathématique idéalisé puissant pour saisir ces complexités géométriques à plusieurs échelles.

L'objectif de ce projet est de guider un doctorant dans l'élaboration d'une théorie rigoureuse de la diffusion acoustique pour les écrans non auto-similaires, par exemple les écrans qui ont une structure fractale auto-conforme, auto-affine ou aléatoire. En effet, le doctorant et le projet bénéficieront des atouts complémentaires de l'équipe de recherche, à savoir les connaissances approfondies de Rozanova-Pierrat en matière d'équations intégrales et d'analyse numérique [8,9], l'expérience de Sieber dans le domaine des problèmes à valeur limite [1] et les antécédents interdisciplinaires de Samuel [7,11] ainsi que ses connaissances spécialisées en géométrie fractale [5,6]. De plus, en collaboration avec les membres du Centre for Metamaterials de l'université d'Exeter (par exemple Chaplain, Edge et Starkey), le projet explorera les utilisations potentielles de la théorie qui en résultera dans les applications décrites ci-dessus.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

A classical problem in the study of acoustic, electromagnetic, and elastic wave propagation is the scattering of a time-harmonic incident wave by a thin screen (or 'crack'). In standard analyses, the scattering set is typically assumed, either explicitly or implicitly, to be a subset of a hyperplane of ambient space, with a smooth boundary.

In a series of recent papers [2,3,4], it has been shown that well-posed boundary value problems and associated boundary integral equation formulations for the acoustic screen scattering problem can be rigorously formulated, analysed, discretised and solved for highly irregular screens. Specifically, these works allow for screens whose boundaries possess a self-similar fractal structure, and where the screen itself is a self-similar fractal.

The study of wave scattering by fractal structures beyond the self-similar setting, for example, self-conformal, self-affine or random fractals, is not only interesting from a mathematical point of view but also has highly topical applications. These include the scattering of electromagnetic waves by complex ice crystal aggregates in weather and climate science [10], as well as the modelling and design of fractal antennas in electrical engineering [12]. We note here, that in practical applications, physical objects typically exhibit only a finite number of self-repeating structures across multiple scales, nevertheless, fractals provide a powerful idealised mathematical framework for capturing such multi-scale geometric complexities.

The aim of this project is to guide a doctoral candidate to develop a rigorous theory of acoustic scattering for non-self-similar screens, for instance screens which have a self-conformal, self-affine or random fractal structure. Indeed, the doctoral candidate, and the project, will benefit from the complementary strengths of the research team, Rozanova-Pierrat's in depth knowledge of integral equations and numerical analysis [8,9], Sieber's experience in boundary valued problems [1], and Samuel's interdisciplinary track record [7,11] and specialist knowledge in fractal geometry [5,6]. Moreover, in collaboration with members of the Centre for Metamaterials at the University of Exeter (for instance Chaplain, Edge and Starkey), the project will explore potential uses of the resulting theory in the applications outlined above.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Début de la thèse : 01/10/2026

Programme UPSaclay-Exeter (ADI)

Université Paris-Saclay GS Mathématiques

574 Mathématiques Hadamard

Compétences dans la théorie des équations aux dérivées partielles et éventuellement simulations numériques
A strong background in partial differential equations is required. Skills in programming would be a plus.