Discretisations préservant la structure pour des systèmes hyperboliques et applications // Structure preserving schemes for hyperbolic balance laws with applications

Dans ce projet, nous considérons des lois d'équilibre non linéaires complexes avec des termes sources et des limites raides. On peut citer comme exemples la forme hyperbolisé des équations de la chaleur ou les équations d'Euler incluant des régions à faible Mach. Des reformulations entièrement hyperboliques des équations d'Euler-Fourier (incluant le transfert de chaleur) sont également considérées [3]. Ces systèmes présentent plusieurs caractéristiques intéressantes (communes à d'autres systèmes rencontrés dans nombreuses applications) :
1. états stationnaires non triviaux associés à des conditions solénoïdales (ou à une divergence imposée).
2. involutions : le rotationnel de certaines variables est préservé dans le temps.
3. états asymptotiques : pour certaines valeurs de paramètres physiques, l'EDP a un comportement effectif qui est non hyperbolique et donné par une EDP d'ordre supérieur (parabolique ou elliptique).
Nous visons à concevoir des schémas préservant la structure capables de vérifier les analogues discrets des trois caractéristiques ci-dessus.

Nous partirons de la formulation 'global flux quadrature' proposée dans [1] et [2]. Cette méthode, basée sur l'utilisation de potentiels de flux intégrés transversalement, s'est avérée préserver la stationnarité, c'est-à-dire être localement compatible avec tous les états stationnaires, préserver les involutions et se comporter correctement dans la limite des faibles Mach lors de la résolution des équations d'Euler compressibles. Nous étudierons les améliorations suivantes.
- Formulation décalées IMEX. L'approche de quadrature du flux global
proposée dans [1] et [2] est entièrement explicite. Lorsqu'il s'agit de limites raides, de formulations semi-implicites sone plus efficaces. Ces approches IMEX
nécessitent une refonte de la dissipation numérique afin de garantir toutes les propriétés de préservation de la structure. Les approximations décalées
devraient permettre d'obtenir des systèmes algébriques plus compacts et des involutions de forme plus simple.
- Capture des chocs. Afin d'obtenir un schéma unifié qui préserve simultanément la structure et qui garantit la robustesse à proximité des chocs, nous intégrerons des capacités de capture de discontinuités couplé à des senseur de compatibilité avec les structures préservées (e.g. états stationnaires).
- Les conditions aux limites compatibles sont extrêmement importantes lorsqu'il s'agit de méthodes de préservation de la structure [4].
Le traitement des limites doit respecter les états stationnaires, maintenir les
contraintes discrètes de divergence ou de rotation, et fournir un comportement robuste même en présence de termes sources rigides
ou dans les limites asymptotiques. Les limites de paroi jouent un rôle important et seront étudiées ici.
En plus de ces points, nous étudierons de manière plus rigoureuse les relations théoriques entre la stationnarité et la préservation asymptotique, ainsi que les relations entre la dissipation numérique induite par les formulations IMEX et celle de la stationnarité entièrement explicite.

[1] W. Barsukow, M. Ricchiuto, and D. Torlo, Structure preserving nodal continuous Finite Elements via
Global Flux quadrature, Num. Meth. for PDEs 41(1), 2025.

[2] W. Barsukow, M. Ciallella, M. Ricchiuto, and D. Torlo, Genuinely multi-dimensional stationarity preserving Finite Volume formulation for nonlinear hyperbolic PDEs, J.Comput.Phys. 550, 2026

[3] F. Dhaouadi, S. Gavrilyuk, An Eulerian hyperbolic model for heat transfer derived via Hamilton's
principle: analytical and numerical study, Proceedings of the Royal Society A, 480(2283), 2024.

[4] L. Río-Martín, F. Dhaouadi, M. Dumbser, An exactly curl-free finite-volume/finite-difference scheme
for a hyperbolic compressible isentropic two-phase model. J.Sci.Comp. 102 (13), 2025.
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In this project we consider complex non-linear balance laws with source terms and stiff limits.
Examples are the hyperbolised heat equations, or the Euler equations including low Mach regions. Fully hyperbolic reformulations of the Euler-Fourier equations (including heat transfer) are also considered [3]. These systems exhibit several interesting features (common to other systems encountered in many applications):
1. non-trivial stationary states typically associated to solenoidal conditions (or imposed divergence).
2. involutions: the rotational of certain variables is preserved in time.
3. asymptotic states: for certain values of physical parameters the PDE has an effective behaviour which is non-hyperbolic and give by some higher order PDE (parabolic or elliptic).
We aim at designing structure preserving schemes capable of verifying discrete analogs of the three characteristics above.

We will start from the global flux/stationarity preserving quadrature proposed in [1] and [2]. This method, based on the use of transverse integrated flux potentials, has been shown to be stationarity preserving, namely locally compatible with all stationary states, involution preserving, and well behaved in the asymptotic limit of low Mach numbers when solving the compressible Euler equations. We will investigate the following improvements of the numerical method.
- IMEX formulation with staggered approximations The global flux quadrature
approach proposed in the past is fully explicit.
When dealing with stiff limits, it is more efficient to treat only the stiff terms implicitly. This IMEX approach
requires a re-design of the numerical dissipation to ensure all the structure preserving properties. Staggered
approximations will allow more compact algebraic systems, and simpler forms of the involutions.
- Shock capturing To get a unified scheme that simultaneously preserves the structure in smooth regions
and ensures reliability near shocks we will embed shock-capturing capabilities. We will study the addition
of controlled dissipation activated only in the vicinity of discontinuities. Appropriate nonlinear sensors will
ensure the preservation of stationary states and involution constraints.
- Compatible boundary conditions are extremely important when dealing with structure preserving methods [4].
The boundary treatment must respect stationary states, maintain
discrete divergence or curl constraints, and provide robust behaviour even in the presence of stiff source
terms or in the asymptotic limits. Wall boundaries play an important role and will be studied here.
In addition to these points, we will investigate more rigorously the theoretical relations between stationarity and asymptotic preservation, and the relations between the numerical dissipation induced by IMEX formulations and that of fully explicit stationarity preserving schemes.

References
[1] W. Barsukow, M. Ricchiuto, and D. Torlo, Structure preserving nodal continuous Finite Elements via
Global Flux quadrature, Num. Meth. for PDEs 41(1), 2025.

[2] W. Barsukow, M. Ciallella, M. Ricchiuto, and D. Torlo, Genuinely multi-dimensional stationarity preserving Finite Volume formulation for nonlinear hyperbolic PDEs, J.Comput.Phys. 550, 2026

[3] F. Dhaouadi, S. Gavrilyuk, An Eulerian hyperbolic model for heat transfer derived via Hamilton's
principle: analytical and numerical study, Proceedings of the Royal Society A, 480(2283), 2024.

[4] L. Río-Martín, F. Dhaouadi, M. Dumbser, An exactly curl-free finite-volume/finite-difference scheme
for a hyperbolic compressible isentropic two-phase model. J.Sci.Comp. 102 (13), 2025.
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Début de la thèse : 01/10/2026

Public funding alone (i.e. government, region, European, international organization research grant)

Concours pour un contrat doctoral

Université de Bordeaux

39 Mathématiques et Informatique

- Des bases de modélisation des EDP en mécanique des continus, et en particulier en mécanique des fluides, - Maitrise de méthodes numériques pour les EDO et les EDP, et possiblement EDP hyperboliques - Une maîtrise de la programmation des méthodes numériques (une maîtrise du Fortran ou du C serait préférable)
- Some experience in PDE modelling in continuous mechanics, and in particular fluid mechanics, - Experience in numerical methods for ODEs and PDEs, and possibly hyperbolic PDEs - proficiency in programming numerical methods (proficiency in Fortran or C would be preferred)