Etude théorique et numérique de systèmes de Schrödinger non linéaires avec impuretés // Theoretical and numerical study of nonlinear Schrödinger systems with impurities

Ce projet de thèse a pour but d'étudier des systèmes de Schrödinger avec impuretés, qui s'écrivent sous la forme
i ∂tU + ΔU + ZδΣ U + F(U)=0, t>0, x ∈ ℝn
dans lesquels U=U(t,x) désigne une fonction vectorielle à valeurs dans ℂp , où Δ est le laplacien, où δΣ est la mesure de Dirac relative à l'hypersurface Σ , où Z est appelée amplitude du défaut et où F est une fonction non linéaire en les composantes de U. On se place ici en dimension d'espace n.
L'étude proposée ici est à la fois théorique et numérique. L'objectif dans un premier temps est de considérer une approximation du terme de défaut par un terme régularisé plus facile à appréhender. Pour cela, on part du système linéaire
(S) i ∂tV + ΔV + ZδΣV=0, t>0, x ∈ ℝn
et il faut disposer d'estimations d'erreur entre la solution Vε du système régularisé noté (Sε) où le terme singulier δΣ est remplacé par un potentiel régulier à support compact φε (ε étant le paramètre de régularisation lié à la taille du support) et la solution V de (S). Ceci passe par des estimations fines du semi-groupe vectoriel de Schrödinger conduisant à des inégalités du type
║Vε – V║ ⩽ Cεp.
Il faudra ensuite montrer que l'ajout de la non-linéarité n'a pas d'influence sur l'ordre de convergence dans l'estimation précédente. Cela justifie l'intérêt de cette approximation par régularisation car celle-ci se prêtera bien à l'utilisation de méthodes numériques classiques.
Par la suite, il conviendra de comprendre la dynamique de la solution en présence du terme de défaut. Contrairement au cas des équations scalaires, il peut y avoir des effets d'interaction donnant lieu à des comportements plus complexes du fait des non-linéarités couplant les différents champs. Il est nécessaire de disposer dans un premier temps de résultats d'existence et d'unicité des solutions du problème de Cauchy, en utilisant des techniques classiques de type point fixe pour une formulation faible du problème passant par des estimations de type Strichartz. Il faut également pouvoir comme dans le cas scalaire obtenir des conditions suffisantes d'explosion en temps fini par des techniques de Viriel. Au-delà de l'intérêt mathématique, un résultat sur le problème de Cauchy assure la robustesse du modèle mathématique considéré.
Enfin, on abordera la question de calcul d'états stationnaires pour ces modèles. Dans ce but, il est tout d'abord nécessaire de développer un algorithme numérique fiable pour le calcul de ces états en présence ou non de défauts. Plusieurs pistes sont envisagées pour le calcul de ces solutions : les méthodes de tir qui ont déjà donné satisfaction dans le cas des équations scalaires, des méthodes de réduction en dimension finie couplée à des algorithmes de type Newton et des méthodes de continuation de paramètres. Il s'agira ensuite d'étudier théoriquement et numériquement la stabilité de ces états, i. e. leur persistance au cours de leur propagation temporelle. Il est à signaler que la présence du défaut empêche des symétries, ce qui peut modifier les techniques mises en œuvre : en effet, la stabilité orbitale dans le cas sans défauts correspond à une stabilité modulo les translations et les changements de phase. Par la suite, on va effectuer des simulations numériques temporelles, rendant nécessaire le fait d'avoir recours à des schémas numériques performants pour la simulation de ces modèles sur des grandes échelles de temps. Les schémas aux différences finis (déjà utilisés précédemment) constituent un bon compromis entre la simplicité d'utilisation et une grande précision. Pour des simulations faisant intervenir des défauts non rectilignes, on pourra utiliser des méthodes d'éléments finis en choisissant des domaines élémentaires qui épousent localement à l'ordre 1 la géométrie du défaut. La question sous-jacente est de savoir dans quelle mesure la courbure du défaut peut influencer la dynamique des solutions.
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This PhD project aims to investigate Schrödinger systems with impurities, which can be written in the form

i ∂tU + ΔU + ZδΣ U + F(U)=0, t>0, x ∈ ℝn
where U=U(t,x) is a vector-valued function with values in ℂp, Δ denotes the Laplacian, is the Dirac measure supported on a hypersurface Σ, Z stands for the defect amplitude, and F is a nonlinear function acting on the components of U. The analysis is carried out in space dimension n.
The project combines both theoretical and numerical approaches. We first consider an approximation of the singular defect term by a regularized term more convenient for analysis concerns. More precisely, starting from the linear system
(S) i ∂tV + ΔV + ZδΣV=0, t>0, x ∈ ℝn
we seek to derive error estimates between the solution Vε of the regularized system (Sε), in which δΣ is replaced by a smooth, compactly supported potential φε (ε denoting the regularization parameter), and the solution V of the original system. This requires sharp estimates for the associated vector-valued Schrödinger semigroup, leading to bounds of the form
║Vε – V║ ⩽ Cεp.
A key objective is then to show that adding the nonlinear of the nonlinear term does not alter the order of convergence obtained in the linear setting. This result provides a strong justification for the regularization strategy, as it enables the use of standard numerical methods.
The next stage of the project focuses on understanding the dynamics of solutions in the presence of defects. In contrast with the scalar case, the coupling between components may generate interaction effects and lead to more intricate behaviors. A fundamental step is to establish well-posedness of the Cauchy problem, including existence and uniqueness of solutions, using fixed-point arguments in appropriate functional frameworks based on Strichartz estimates. In addition, it is important to derive sufficient conditions for finite-time blow-up using virial-type identities. Beyond their intrinsic mathematical interest, such results ensure the consistency and robustness of the underlying model.
Finally, the project addresses the computation of stationary states. This requires the development of reliable numerical algorithms able to capture such states both in the presence and absence of defects. Several approaches will be explored, including shooting methods (which have proven effective in the scalar case), finite-dimensional reduction combined with Newton-type schemes, and parameter continuation techniques. Their stability properties will then be investigated both analytically and numerically, with particular attention paid to their persistence under time evolution. It is worth noting that the presence of defects breaks certain symmetries; for instance, in the defect-free case, orbital stability is defined modulo translations and phase shifts, a property that may no longer hold in this new context.
The project will also involve time-dependent numerical simulations, requiring efficient and accurate schemes for long-time integration. Finite difference methods provide a good balance between simplicity and precision, while finite element methods are better suited for handling curved defects, as they allow for a local adaptation of the computational mesh to the geometry. A central question is to determine how the curvature of the defect may influence the qualitative and quantitative behavior of solutions.
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Début de la thèse : 01/10/2026

Public funding alone (i.e. government, region, European, international organization research grant)

Concours pour un contrat doctoral

Université de Reims Champagne - Ardenne

620 MPSNI - Mathématiques Physique Sciences du Numérique et de l'Ingénieur

La candidate ou le candidat sera déjà familiarisé(e) aussi bien avec l'analyse des équations aux dérivées partielles que l'analyse numérique et l'implémentation de schémas sur machines. La connaissance des équations de Schrödinger non linéaires n'est pas une obligation mais pourra constituer un plus.
The candidate is expected to be already familiar with both the analysis of partial differential equations and numerical analysis, as well as the implementation of numerical schemes on computers. Prior knowledge of nonlinear Schrödinger equations is not required but would be considered an asset.