Hybridation de complexes polytopaux // Hybridization of polytopal complexes

Les méthodes de de Rham discrètes (DDR) ont été introduites dans [1,2] dans le but de fournir un analogue discret du complexe de de Rham sur des maillages polytopaux généraux. Contrairement aux complexes classiques d'Éléments Finis (EF), les complexes polytopaux reposent sur une construction purement algébrique, fondée sur des espaces d'inconnues et des opérateurs différentiels entièrement discrets. Comme cela a récemment été mis en évidence dans [3], la consistance adjointe constitue une notion cruciale dans leur analyse.

L'objectif de cette thèse est d'étudier de manière plus systématique le complexe adjoint à la fois du complexe DDR original (calcul vectoriel) et de son extension en formes différentielles introduite dans [4]. Cette dernière généralisation peut être vue comme une version polytopale de la théorie du calcul extérieur des éléments finis (Finite Element Exterior Calculus, FEEC). L'étude prendra comme point de départ les relations de dualité issues du processus d'hybridation, en s'appuyant sur des résultats antérieurs issus soit de la littérature FEEC [5], soit de la littérature sur les méthodes polytopales [6,7]. Des liens devraient notamment être mis en évidence avec les méthodes HHO [8], ainsi qu'avec les formes différentielles distributionnelles discrètes telles que conceptualisées dans [9].

La thèse abordera dans un premier temps le cas du complexe de de Rham, avant d'explorer des extensions à d'autres complexes plus élaborés pour lesquels des analogues polytopaux ont été développés.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Discrete de Rham (DDR) methods were introduced in [1,2] in an effort to provide a discrete counterpart of the de Rham complex on general polytopal meshes. Contrary to standard Finite Element (FE) complexes, polytopal ones are based on a purely algebraic construction, underpinned by fully discrete spaces of unknowns and differential operators. As recently made clear in [3], adjoint consistency is a crucial notion arising in their analysis.

The objective of this PhD thesis is to study in a more systematic way the adjoint complex of both the original (vector calculus) DDR complex and of its differential form extension introduced in [4]. The latter generalization can be seen as a polytopal version of Finite Element Exterior Calculus (FEEC) theory. The study will use as a starting point the duality relations arising from the hybridization process, leveraging previous results from the FEEC [5] or from the polytopal [6,7] literatures. Links are expected to be uncovered with HHO methods [8], as well as with discrete distributional differential forms as conceptualized in [9].

The thesis will first address the case of the de Rham complex, and then explore extensions to other, more involved, complexes for which polytopal counterparts have been devised.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Début de la thèse : 01/10/2026

Programmes de l'Union Européenne de financement de la recherche (ERC, ERASMUS)

Université de Montpellier

166 I2S - Information, Structures, Systèmes

Les candidats sont censés posséder une solide formation en analyse numérique ainsi qu'une connaissance des modèles classiques d'équations aux dérivées partielles issus de la mécanique des milieux continus. La maîtrise d'un langage de programmation (de préférence C++) constituera un atout supplémentaire.
Applicants are expected to have a strong background in numerical analysis and knowledge of common partial differential equation models arising in continuum mechanics. The mastery of one programming language (C++ preferred) will be a valuable addition.