Méthodes mathématiques pour identifier les circuits réentrants cardiaques // Mathematical methods to identify re-entrant circuits in cardiac tissue

Ce projet vise à mieux comprendre les arythmies cardiaques, des troubles de l'activité électrique du cœur qui sous-tendent de nombreuses maladies cardiovasculaires, responsables d'environ un tiers des décès dans le monde. L'accent est mis sur les circuits de réentrée : des boucles auto-entretenues et pathologiques d'activité électrique qui perturbent le rythme cardiaque normal, conduisant à des maladies comme la fibrillation atriale ou la tachycardie ventriculaire.

Les méthodes cliniques actuelles pour cartographier ces circuits sont invasives et échouent souvent à capturer l'intégralité du circuit avant que l'arythmie ne doive être interrompue. Les modèles mathématiques sous forme d'équations aux dérivées partielles de réaction-diffusion, appelées équations monodomaine, peuvent simuler l'électrophysiologie cardiaque, mais nécessitent des données physiologiques inaccessibles cliniquement et sont coûteuses en calcul, ce qui limite leur utilité.

Cette thèse développera de nouvelles approches mathématiques pour identifier les circuits de réentrée à partir de données cliniques minimales et routinières, comme les cartes de temps d'activation et des géométries de surface atriale. Deux approches pourront être envisagées, considérant les circuits de réentrée soit comme des solutions périodiques des équations monodomaine, soit comme des boucles géodésiques minimales dans une variété riemannienne.

Approche 1 : Recherche de solutions périodiques par résolution d'un problème aux limites (BVP)

L'idée consiste à rechercher les circuits de réentrée en tant que solutions périodiques en temps des équations monodomaine. Ces solutions peuvent être trouvées à l'aide de techniques de recherche de racines de fonctions, comme la méthode de Newton, après une discrétisation numérique adaptée. Un défi réside dans l'extension des schémas BVP existants aux problèmes de réaction-diffusion, les choix de discrétisations spatiales et temporelles appropriées, et la garantie de l'unicité des solutions. La recherche pourra être menée par complexité croissante, en commençant par des domaines 1D, puis en travaillant avecà des surfaces atriales 2D.

Approche 2 : Recherche de chemins minimaux sur des variétés riemanniennes

Les circuits de réentrée peuvent également être formalisés comme des boucles géodésiques minimales non triviales dans une variété riemannienne, où la distance est régie par la vitesse de propagation des ondes électrophysiologiques. Une métrique électrophysiologique a été proposée par Young et Panfilov pour modéliser la propagation des ondes et servira de base à cette approche. Cette idée, à développer, réduit la dépendance à des paramètres physiologiques détaillés, offrant une approche plus axée sur les données, tout en restant interprétable.

Cette recherche devrait permettre une identification plus rapide et plus précise des circuits de réentrée dans les routines cliniques, améliorant ainsi la planification des thérapies par ablation et réduisant le risque de création de nouvelles voies de conduction. Sur le plan mathématique, nous espérons approfondir la compréhension du cœur en tant que système dynamique de dimension infinie, en explorant comment la géométrie et la topologie du domaine influencent les solutions périodiques des équations aux dérivées partielles de réaction-diffusion spécifiques à la propagation des potentiels d'action cardiaques.
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This project aims to advance the understanding and treatment of cardiac arrhythmias, disorders of the heart's electrical activity that underlie many cardiovascular diseases, responsible for nearly a third of global deaths. The focus is on re-entrant circuits: self-sustaining, pathological loops of electrical activity that disrupt normal heart rhythm, leading to conditions like atrial fibrillation and ventricular tachycardia.

Current clinical methods for mapping these circuits are invasive and often failing to capture the full circuit before the arrhythmia terminates. Mathematical models in the form of reaction-diffusion partial differential equations, called the monodomain equations, can simulate cardiac electrophysiology, but require precise physiological data and are computationally expensive, limiting their clinical utility.

The thesis will develop novel mathematical approaches to identify re-entrant circuits using minimal, routinely acquired clinical data, specifically activation-time maps and atrial surface geometries. Two approaches may be considered, considering re-entrant circuit as periodic solutions of the monodomain equations, or as minimal geodesic loops in a Riemannian manifold.

Approach 1: Search for periodic solution, by solving a boundary-value problem (BVP)

The idea consists searching for re-entrant circuits as time-periodic solutions of the monodomain equation. Such solutions can be found using root finding techniques, such as Newton's method, after adapted numerical discretization. There is a challenge in extending existing BVP schemes to reaction-diffusion problems, choosing suitable spatial and temporal representations, and ensuring solution uniqueness. The research can be made of increasing complexity by starting with 1D domains, then extending to 2D atrial surfaces.

Approach 2: Search for minimal path on Riemannian Manifolds

Re-entrant circuits can also be formalized as minimal non-contractible geodesic loops in a Riemannian manifold, where distance is governed by electrophysiological wave propagation velocity. An electrophysiological metric as been proposed by Young & Panfilov to model wave propagation, and would serve as a basis for this approach. This idea reduces dependence on detailed physiological parameters, offering a more data-driven, yet interpretable approach.

The research is expected to enable faster, more accurate identification of re-entrant circuits in clinical routines, improving ablation therapy planning and reducing the risk of creating new pathways. From a mathematical standpoint, we expect to improve understanding of the heart as an infinite-dimensional dynamical system, exploring how domain geometry and topology influence periodic solutions of reaction-diffusion PDEs specific to the propagation of cardiac action potentials.
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Début de la thèse : 01/10/2026
WEB : https://team.inria.fr/carmen/

Public funding alone (i.e. government, region, European, international organization research grant)

Concours pour un contrat doctoral

Université de Bordeaux

39 Mathématiques et Informatique

Les candidat.e.s pourront avoir des compétences en analyse mathématiques de systèmes dynamiques et en particulier des équations aux dérivées partielles (EDP) d'évolutions, ou en discrétisation numérique des EDP. On espère que les candidat.e.s ont un intérêt pour les applications des mathématiques et l'interaction avec des chercheur.se.s dans d'autres disciplines, sont capables de communiquer à l'écrit et à l'oral et sont capables de travailler dans un environnement de recherche pluridicsiplinaire.
Candidates could have a background on mathematics of dynamical system, and in particular PDEs evolution problems, or on numerical methods for PDEs. They are hoped to be interested in application of mathematics and interaction with researchers from other disciplines, have good writing and oral communication skills, and be able to participate to an interdisciplinary research environment.