Intensité d'interaction algébrique // Algebraic interaction strength

On considère une surface fermée $M$, c'est à dire une variété différentiable de dimension 2, compacte, sans bord. On suppose de plus
$M$ orientée, c'est à dire qu'on peut y définir la gauche et la droite. On peut alors calculer l'intersection algébrique de deux courbes
fermées $\alpha$ et $\beta$ tracées sur $M$ : on compte simplement les points d'intersection de $\alpha$ et $\beta$, avec un signe $+$ si
au point considéré $\alpha$ traverse $\beta$ de la gauche vers la droite, et un signe $-$, sinon. Le premier fait remarquable de cette
théorie est que l'intersection définit une forme bilinéaire antisymétrique non dégénérée, notée $\mbox{Int}(.,.)$ sur le premier groupe
d'homologie de $M$. A partir de maintenant nous supposons que la surface $M$ est munie d'une métrique riemannienne $g$.
La question que nous nous posons est la suivante : imaginons qu'étant données deux courbes fermées $\alpha$ et $\beta$ tracées sur
$M$, on gagne 1 franc pour chaque intersection avec un signe +, on perd un franc pour chaque intersection avec un signe $-$, et comme
il faut bien payer l'essence, on dépense 1 centime par mètre parcouru sur $\alpha$, par mètre parcouru sur $\beta$. On se demande alors
si l'affaire est rentable. En d'autres termes, on cherche à évaluer la quantité
\[
K(M,g)= \sup_{\alpha,\beta}\frac{\mbox{Int}(\alpha,\beta)}{l(\alpha)l(\beta)}.
\]
L'affaire est rentable si $K(M,g) >0$. Il est clair que c'est le cas car en échangeant si besoin est les places de $\alpha$ et $\beta$ on peut
obtenir
$\mbox{Int}(\alpha,\beta)>0$. Ensuite on peut se demander si $K(M,g) < +\infty$, autrement dit, s'il y a une rentabilité maximale théorique.
On peut voir que c'est le cas, en interprétant $K(M,g)$ comme la norme de la forme bilinéaire $\mbox{Int}(.,.)$, relativement à une norme
sur l'homologie de $M$, qui mesure en quelque sorte la longueur d'une classe d'homologie pour la métrique $g$.
Dans l'article [Massart-Muetzel '14] on étudie le comportement de $K(M,g)$, vu comme fonction sur l'espace des modules des surfaces
hyperboliques de genre fixé. L'article [Massart-Muetzel '14] se concentre sur le comportement à l'infini dans l'espace des modules, et
montre en particulier que $K(M,g)$ n'a pas de maximum sur l'espace des modules. Un but, parmi d'autres, de la présente thèse est de
rechercher l'éventuel minimum de $K(M,g)$, dans la classe conforme de Bolza, la plus symétrique en genre 2.
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We consider a closed surface 𝑀, that is, a 2-dimensional differentiable manifold, compact and without boundary. Moreover, we assume
that 𝑀 is oriented, meaning that one can define left and right on it. We can then calculate the algebraic intersection of two closed curves
𝛼 and 𝛽 drawn on 𝑀: we simply count the intersection points of 𝛼 and 𝛽, with a positive sign if at the considered point 𝛼 crosses 𝛽 from
left to right, and a negative sign otherwise. The first remarkable fact of this theory is that the intersection defines a non-degenerate
antisymmetric bilinear form, denoted
Int(.,.), on the first homology group of 𝑀. From now on, we assume that the surface 𝑀 is equipped with a Riemannian metric 𝑔.The question we ask is as follows: imagine that, given two closed curves 𝛼 and 𝛽 drawn on 𝑀, one earns 1 euro for each intersection with
a positive sign, loses 1 euro for each intersection with a negative sign, and, since one has to pay for gas, spends 1 cent per meter traveled
on 𝛼 and per meter traveled on 𝛽. We then wonder if the deal is profitable. In other words, we seek to evaluate the quantity
𝐾(𝑀,𝑔)=sup⁡_𝛼,𝛽 Int(𝛼,𝛽) / 𝑙(𝛼)𝑙(𝛽), which we call algebraic interaction strength after [Torkaman '23] and [Jiang-Pan, '24].
The deal is profitable if 𝐾(𝑀,𝑔)>0. It is clear that this is the case because by swapping the roles of 𝛼 and 𝛽 if necessary, one can achieve
Int(𝛼,𝛽)>0. Next, one might ask if 𝐾(𝑀,𝑔)<+∞, in other words, if there is a theoretical maximum profitability. It can be shown that this is
indeed the case by interpreting 𝐾(𝑀,𝑔) as the norm of the bilinear form Int(.,.), with respect to a norm on the homology of 𝑀, which roughly
measures the length of a homology class for the metric 𝑔.
In the article [Massart-Muetzel '14], the behavior of 𝐾(𝑀,𝑔) is studied as a function on the moduli space of hyperbolic surfaces of fixed
genus. The article [Massart-Muetzel '14] focuses on the behavior at infinity in the moduli space, and in particular shows that 𝐾(𝑀,𝑔) does
not have a maximum on the moduli space. One goal, among others, of this thesis is to investigate the potential minimum of 𝐾(𝑀,𝑔), in the
Bolza conformal class in genus 2.
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Début de la thèse : 01/10/2026

Contrat doctoral

Concours pour un contrat doctoral

Université de Montpellier

166 I2S - Information, Structures, Systèmes

Etudiant de M2 spécialisé en géométrie/systèmes dynamiques. Bases de géométrie hyperbolique.
Master degree with emphasis on geometry/dynamical systems. Some knowledge of hyperbolic geometry.