CALCUL NUMÉRIQUE DE SOLUTIONS STATIONNAIRES POUR LES EQUATIONS DE NAVIER- STOKES À DES NOMBRES DE REYNOLDS ARBITRAIRES // A NUMERICAL METHOD FOR THE STEADY-STATE SOLUTIONS OF NAVIER-STOKES EQUATIONS FOR ARBITRARY REYNOLDS NUMBERS

Les écoulements multiphasiques sont omniprésents dans divers domaines industriels et environnementaux, tels que les procédés pétrochimiques, la production d'énergie, les applications biomédicales et les phénomènes naturels comme les éruptions volcaniques et le transport sédimentaire. La complexité de ces écoulements réside dans les interactions dynamiques entre les différentes phases (liquide, gaz, solide), impliquant des interfaces évolutives et des transferts de masse, de quantité de mouvement et d'énergie. La modélisation mathématique de ces phénomènes repose généralement sur la résolution de systèmes complexes d'équations aux dérivées partielles, comme les équations de Navier-Stokes couplées à des conditions d'interface. Cependant, la nature non linéaire et fortement couplée de ces équations rend les solutions analytiques impraticables dans la plupart des cas réels. Cela souligne le besoin de méthodes numériques robustes et efficaces. Les simulations numériques permettent de prédire le comportement des écoulements multiphasiques, offrant des outils précieux pour optimiser les processus industriels, réduire les coûts expérimentaux et améliorer la sécurité des installations. Elles aident également à mieux comprendre les mécanismes fondamentaux régissant les interactions multiphasiques.
L'objectif de cette thèse est de développer une méthode numérique pour obtenir des solutions stationnaires des équations de Navier-Stokes sans recourir à des simulations transitoires longues et coûteuses. Les solutions stationnaires sont difficiles à obtenir à des nombres de Reynolds élevés en raison de l'instabilité des ecoulements. Les techniques traditionnelles reposent sur des moyennes temporelles issues de longues simulations, ce qui est très coûteux en termes de calcul. De plus, l'influence des conditions aux limites (par exemple, les conditions de sortie) sur les résultats est rarement abordée en détail. Ce travail propose une méthode novatrice pour résoudre directement l'écoulement de base à l'aide d'une formulation vorticité-
streamfunction. Les solutions stationnaires obtenues clarifieront les conditions sous lesquelles un profil d'écoulement de base existe pour différentes configurations aux limites, telles que les parois solides, les parois glissantes, les entrées et les sorties. L'objectif est de développer de nouvelles conditions aux limites pour les codes CFD standard, où celles-ci peuvent être exprimées comme la somme d'une solution stationnaire et d'une contribution transitoire. Le calcul des profils d'écoulement de base fournira également des conditions initiales importantes pour les simulations, réduisant ainsi le temps de calcul pour l'analyse des écoulements instables. Cette méthode servira de premier pas vers une analyse de stabilité linéaire des écoulements complexes, où l'écoulement de base est essentiel pour obtenir des résultats précis de la réponse linéaire de l'écoulement.
En partant des écoulements simples, irrotationnels et à solutions stationnaires théoriques connues, cette recherche s'étendra progressivement à des problèmes plus complexes, incluant des écoulements avec vorticité, viscosité et, enfin, des écoulements multiphasiques. La présence d'une interface dans les écoulements multiphasiques introduit des défis supplémentaires, car l'interface (non connue a priori) génère de la vorticité.La nouvelle méthode sera implémentée dans Basilisk, un logiciel open-source développé à l'Institut Jean Le Rond D'Alembert. Elle sera validée par rapport aux solutions théoriques pour des écoulements simples ainsi que par des simulations numériques directes des équations de Navier-Stokes transitoires à des nombres de Reynolds élevés. Une fois validée, elle sera utilisée pour développer de nouvelles conditions aux limites pour les écoulements à haut nombre de Reynolds, garantissant l'existence d'un écoulement de base.
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Multiphase flows are ubiquitous in various industrial and environmental fields,
such as petrochemical processes, energy production systems, biomedical
applications, and natural phenomena like volcanic eruptions and sediment
transport. These flows are inherently complex due to the dynamic interactions
between different phases (liquid, gas, solid), involving evolving interfaces
and the transfer of mass, momentum, and energy.
Mathematical modeling of these phenomena typically involves solving complex
partial differential equations, such as the Navier-Stokes equations coupled
with interface conditions. However, the nonlinear and strongly coupled nature
of these equations makes analytical solutions impractical in most real-world
cases. This underscores the need for the development of robust and efficient
numerical methods.
Numerical simulations enable the prediction of multiphase flow behavior,
offering invaluable tools for optimizing industrial processes, reducing
experimental costs, and enhancing facility safety. They also help advance the
understanding of the fundamental mechanisms governing multiphase interactions.
The objective of this PhD is to develop a new numerical method for obtaining
steady-state solutions of the Navier-Stokes equations without requiring
time-consuming transient simulations. Steady-state solutions are challenging to
obtain at high Reynolds numbers due to the instability of the flow. Traditional
techniques often rely on time-averaging results from long simulations, which
are computationally expensive. Moreover, the influence of boundary conditions
(e.g., outflow boundaries) on the results is rarely addressed in detail.
This work will propose a novel method to solve for the base flow directly using
a streamfunction-vorticity formulation. The resulting steady-state solutions
will clarify the conditions under which a base flow profile exists in various
boundary conditions, including solid walls, slip walls, inlet boundaries, and
outflow boundaries. The goal is to develop new boundary conditions for standard
CFD codes, where these can be expressed as the sum of a steady-state solution
and transient contributions.
In addition, the calculation of base flow profiles will provide important
initial conditions for simulations, significantly reducing computational time
in the analysis of unstable flows. This method will also serve as a first step
towards linear stability analysis for complex flows, where the base flow is
crucial to achieving accurate linear response calculations.
Starting from simple, irrotational single-phase flows with known theoretical
steady-state solutions, this research will gradually extend to more complex
problems, including flows with vorticity, viscosity, and eventually multiphase
flows. The presence of an interface in multiphase flows introduces additional
challenges, as the interface (which is not known a priori) generates vorticity
in the flow.
The new method will be implemented in Basilisk, an open-source software
developed at the Institut Jean Le Rond D'Alembert. The method will be validated
against theoretical solutions for simple flows and direct numerical simulations
of the transient Navier-Stokes equations at high Reynolds numbers. Once
validated, it will be used to develop new boundary conditions for high Reynolds
number flows, ensuring the existence of a base flow.
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Début de la thèse : 01/10/2026

Contrat doctoral

Concours pour un contrat doctoral

Sorbonne Université SIS (Sciences, Ingénierie, Santé)

391 Sciences Mécaniques, Acoustique, Electronique et Robotique de Paris

Le candidat idéal possède une formation en mécanique des fluides, mathématiques appliquées ou physique, avec une expertise en méthodes numériques pour résoudre les équations de Navier-Stokes. Une expérience en simulation multiphase et en programmation (C/C++, Python) est souhaitée. Le candidat doit être autonome, rigoureux et capable de travailler en équipe pour développer des méthodes numériques avancées dans le cadre du solveur Basilisk.
The ideal candidate has a background in fluid mechanics, applied mathematics, or physics, with expertise in numerical methods for solving the Navier-Stokes equations. Experience in multiphase simulation and programming (C/C++, Python) is preferred. The candidate must be autonomous, meticulous, and able to work in a team to develop advanced numerical methods within the Basilisk solver framework.