Modélisation et estimation robustes de systèmes dynamiques non linéaires sous incertitudes : application aux bioprocédés durables // Robust Modeling and estimation of Nonlinear Dynamical Systems under Uncertainty: Application to Sustainable Bioprocesses

L'étude des systèmes dynamiques non-linéaires est présente dans de nombreux domaines scientifiques et de nombreuses applications (climat, robotique, biologie, etc.). Cependant, identifier leurs lois d'évolution à partir de données empiriques reste un défi majeur en raison de deux sources d'incertitudes : (i) les données peuvent être bruitées, peu nombreuses, voire partiellement observées (ii) dans le contexte d'une modélisation paramétrique de la dynamique, le modèle des équations différentielles peut être imprécis (on parle alors d'erreurs structurelles).

Une multitude de travaux proposent une modélisation non-paramétrique de la dynamique afin de répondre au point (ii). Citons à titre d'exemples les réseaux de neurones, la logique floue, les processus gaussiens.
Ce sujet de thèse s'inscrit dans cette approche avec l'objectif d'améliorer la robustesse du modèle vis-à-vis des erreurs de mesure et des erreurs structurelles. Pour cela, il est envisagé de construire un modèle non-paramétrique pour représenter à la fois la dynamique du système, mais également l'erreur structurelle. Plusieurs modèles seront étudiés mais en raison de leur souplesse d'utilisation issue des nombreuses propriétés qu'ils possèdent, les processus gaussiens constitueront une piste privilégiée.

En effet, la modélisation par processus gaussiens permet d'envisager :
- Une utilisation simple de modèles de type modèles de mélange. Cette modélisation constitue une piste à explorer pour s'affranchir des observations aberrantes.
La possibilité d'estimer des dérivées y compris en présence de bruit (l'usage d'estimateurs fondés sur des calculs de différences finies étant particulièrement hasardeux lorsque les observations sont bruitées).
- Une planification des expériences permettant, lorsque le nombre d'observations possibles est faible, de soit (i) avant toute expérience, de décider des signaux de commande à appliquer au système, soit (ii) de les programmer séquentiellement, dans ce cas, la commande à appliquer étant recalculée régulièrement pour tenir compte des données déjà mesurées. Cet aspect est d'autant plus important que les expériences sont très coûteuses en temps et en budget (comme c'est le cas par exemple dans le domaine des bioprocédés).
- La modélisation des erreurs structurelles afin de fournir des indicateurs quantifiant leur impact sur la qualité de la modélisation. Des indicateurs fondés sur des calculs de quantiles, particulièrement pertinents lorsque la robustesse est un enjeu, seront étudiés.
- L'estimation des fonctions de covariance est l'une des étapes cruciales lors de la modélisation par processus gaussiens. Un soin tout particulier y sera accordé. Plusieurs pistes seront abordées, allant de l'inférence bayésienne à la restriction à des contextes où l'hypothèse de stationnarité est valide (cadre favorable car les fonctions de covariance dépendent dans ce cas d'une fonction dépendant d'une seule variable).

Le modèle développé ainsi que les informations statistiques associées, issues de la modélisation par processus gaussiens, seront, dans un deuxième temps, exploités pour la mise en place d'estimateurs robustes, pour reconstruire les variables d'état du système non mesurées en ligne.

Les développements théoriques seront illustrés, en simulation, dans le cas de bioprocédés benchmark pour des applications en lien avec le développement durable.
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The study of nonlinear dynamic systems is present in numerous scientific fields and applications (climate, robotics, biology, etc.). However, identifying their time evolution from experimental data remains a major challenge due to two sources of uncertainty: (i) data can be noisy, scarce, or partially observed, and (ii) in the context of parametric modeling, the differential equation model can be imprecise (resulting in structural errors).

Many works propose non-parametric modeling of dynamics to address point (ii). For example, neural networks, fuzzy logic, and Gaussian processes.

This thesis topic addresses these challenges with the objective of improving model robustness against measurement errors and structural errors. To achieve this, a non-parametric model will be built to represent both the system dynamics and structural errors. Several modeling approaches will be studied, but due to their flexibility and numerous properties, the focus will be on Gaussian processes.

Indeed, Gaussian process modeling allows for:
- Simple use of mixture models, which constitutes a promising approach to disregard outlier observations.
- Estimating derivatives, including in the presence of noise (finite difference-based estimators being particularly hazardous when observations are noisy).
- Planning experiments, which enables, when the number of possible observations is limited, to either (i) decide on control signals to apply to the system beforehand or (ii) schedule them sequentially, with the control being recalculated regularly to account for already measured data.
- Modeling structural errors to provide indicators quantifying their impact on model quality. Indicators based on quantile calculations, particularly relevant when robustness is at stake, will be studied.

The estimation of covariance functions is one of the crucial steps in Gaussian process modeling. Particular care will be given to this task.
The developed model, along with associated statistical information from Gaussian process modeling, will be exploited in a second phase to develop robust estimators, reconstructing unmeasured system state variables in real-time.

Theoretical developments will be illustrated, in simulation, through benchmark bioprocesses for applications related to sustainable development.
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Début de la thèse : 01/10/2026

Contrats ED : Programme blanc GS-SIS*Programme 'Transitions climatique et écologique, développement soutenable'

Université Paris-Saclay GS Sciences de l'ingénierie et des systèmes

580 Sciences et Technologies de l'Information et de la Communication

- Master 2 Recherche et/ou Ingénieur(e) en Mathématiques appliquées ou en Automatique. - De bonnes compétences en statistiques, en apprentissage statistique et en estimation. - De bonnes compétences en programmation (Matlab ou Python). - Des connaissances en optimisation seront appréciées mais ne sont pas obligatoires.
- Master's or Engineering degree in Applied Mathematics or Control Engineering. - Strong skills in statistics, statistical learning, and estimation. - Good programming skills (Matlab or Python). - Knowledge of optimization is appreciated but not mandatory.