Décomposition tensorielle hiérarchique H-Tucker pour les méthodes intégrales de volume en magnétostatique

Le Laboratoire Plasma et Conversion d’Energie est une Unité Mixte de Recherche
du Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), de l’Institut National
Polytechnique de Toulouse (INPT) et de l’Université de Toulouse.

Contexte : Le développement de nouveaux dispositifs de conversion d’énergie électrique repose sur la résolution des équations de Maxwell. En basses fréquences, les méthodes intégrales de volume, et en particulier la méthode des moments magnétiques [1], ne font intervenir que les régions de matière magnétique : contrairement aux éléments finis, il n’est pas nécessaire de mailler l’air qui entoure le dispositif. En contrepartie, chaque cellule du maillage interagit avec toutes les autres, et le système linéaire obtenu a une matrice pleine. Pour N inconnues, la stocker coûte O(N2) et la résoudre par une factorisation directe coûte O(N3) : avec N = 105, la matrice seule occupe déjà 80 Go. Des techniques de compression classiques, comme les méthodes multipôles rapides ou les H-matrices, ramènent ces coûts à O(N logN).

Sujet de du stage : Une autre voie, étudiée au laboratoire LAPLACE dans le cadre de l’ANR TensorVIM, consiste à réécrire le système linéaire sous forme tensorielle et à le compresser dans le format Tensor Train, dans lequel la quantité d’information conservée est mesurée par des rangs. Ce solveur a été mis en oeuvre pour la méthode des moments magnétiques [2] : tant que les rangs restent faibles, le stockage et le coût de calcul le restent aussi. Le format Hierarchical Tucker [3, 4] généralise le format Tensor Train : au lieu d’enchaîner les dimensions, on les regroupe deux à deux selon un arbre binaire, chaque noeud de l’arbre portant un petit tableau de coefficients. Le format Tensor Train en est le cas particulier d’un arbre réduit à une chaîne. C’est cette voie que l’on souhaite exploiter dans ce stage.

Objectifs du stage. Il s’agit d’étudier ce que le format Hierarchical Tucker apporte à la méthode des moments magnétiques, en prenant le solveur Tensor Train existant comme point de comparaison.

Le travail se déroulera en trois étapes :
1. Construction. Étudier les techniques et algorithmes de l’état de l’art qui permettent de construire le système
linéaire de la méthode des moments magnétiques dans le format Hierarchical Tucker, et optimiser le choix
de l’arbre pour obtenir les meilleures performances.
2. Produit matrice-vecteur. Étudier le produit matrice-vecteur dans le format Hierarchical Tucker et ses possibilités
d’optimisation, en le comparant au produit dans le format Tensor Train.
3. Résolution. Résoudre le système linéaire en s’appuyant sur le format Hierarchical Tucker et comparer les
performances obtenues à celles du solveur Tensor Train.

Références

[1] O. Chadebec, J.-L. Coulomb, F. Janet, « A review of magnetostatic moment method », IEEE Trans. Magn., vol. 42, n° 4,
p. 515–520, 2006. DOI 10.1109/TMAG.2006.870929
[2] A. Zekri, O. Coulaud, L. Giraud, J.-R. Poirier, « A Tensor Train Solver for the Magnetic Moment Method », IEEE Trans. Magn.,
vol. 62, n° 7, p. 7500906, 2026. DOI 10.1109/TMAG.2025.3618391
[3] W. Hackbusch, S. Kühn, « A new scheme for the tensor representation », J. Fourier Anal. Appl., vol. 15, p. 706–722, 2009.
[4] L. Grasedyck, « Hierarchical singular value decomposition

Master 2 / Ingénieur avec des compétences en calcul scientifique ;

une ou plusieurs des compétences suivantes sont nécessaires : 

- mathématiques appliquées (EDP, éléments finis, Algèbre linéaire)

- programmation (python, fortran, ....)

- Electromagnétisme