Comportement limite sous incertitude knightienne // Limit behaviour under Knightian uncertainty

Dans cette thèse, nous supposerons que les préférences des agents sont modélisées par une suite (Un) n de fonctions d'utilité concaves définies sur R et convergeant vers U. Nous travaillerons dans des modèles à temps discret.
L'objectif est de trouver les conditions sur la convergence de (Un) n vers U, sur les élasticités asymptotiques et sur la condition de non arbitrage NA(Q ) pour obtenir la convergence des fonctions valeures, des stratégies optimales ainsi que des prix de réservation associés à (Un) n vers ceux associés U. Et sous des hypothèses supplémentaires, estimer les vitesses de convergence. Il s'agira aussi de donner des contre-exemples montrant le caractère nécessaire de nos hypothèses.
Ces résultats généraliseront ceux de Carassus & Rasonyi (2007) établis dans le cas d'une seule croyance.
Dans un premier temps, nous supposerons que tous les agents ont la même incertitude knigtienne, i.e. le même Q. Puis, nous considérerons une suite d'ensembles de croyances (Q n) n. Dans ce contexte, nous étudierons également la convergence, avec l'aversion pour le risque, du prix de réservation vers le prix de sur-réplication. Ce résultat généralisera celui de Blanchard et Carassus (2021) établi dans le cas où tous les agents ont le même ensemble de croyances Q.
Il faudra étudier les conditions sur (Q n) n pour obtenir pour obtenir les convergences.

Les outils mathématiques de l'incertitude Knightienne quasi-sure sont les ensembles analytiques (noyaux de Suslin sur la tribu Borélienne) ou bien les noyaux de Suslin de la tribu produit entre la tribu universelle sur X et la tribu borélienne sur Y, où X et Y sont des espace Polonais (voir Bertsekas & S. Shreve (2004)). En effet, sur ces ensembles, il est possible de faire de la sélection mesurable (Théorème de Jankov von Neumann, généralisé par Leese). Très récemment les ensembles projectifs ont également montré tout leur intérêt pour ce type de problèmes liés à l'incertitude Knigtienne.

PLAN DE REALISATION
₋ Début : Novembre 2025 (début possible sur tout 2025).
₋ Année 2025-2026 : lecture de la bibliographie, travaux sur la convergence des fonctions valeurs et des prix de réservation dans le cas où Q ne dépend pas de n,
₋ Année 2026-2027 : généralisation au cas d'une suite (Q n) n.
₋ Année 2027-2028 : travaux sur la convergence du prix de réservation vers le prix de surréplication avec l'aversion pour le risque. Rédaction de la thèse.
₋ Fin : Septembre 2028.
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In this thesis, we will assume that preferences of the agent are modelled by a sequence (Un) n of concave utility functions defined on R and converging to U. We will work in discrete-time models.
The objective is to find conditions on the convergence of (Un) n to U, on the asymptotic elasticities and on the NA(Q ) condition to obtain convergence of the value functions, the optimal strategies and reservation prices associated with (Un) n towards those associated with U. And under additional assumptions, estimate the convergence speeds. We will also give counterexamples showing the necessity of our assumptions.
These results will generalise those of Carassus & Rasonyi (2007) established in the case of a single belief.
Initially, we will assume that all agents have the same Knigtian uncertainty, i.e. the same Q. Then, we will consider a sequence of sets of beliefs (Q n) n. In this context, we will also study the convergence, with risk aversion, of the reservation price towards the super-replication price. This result generalises that of Blanchard and Carassus (2021) established in the case where all agents have the same set of beliefs Q.
It will be necessary to study the conditions on (Q n) n to obtain convergences.

AGENDA
₋ Start: November 2025 (possible start throughout 2025).
₋ Year 2025-2026: reading the bibliography, working on the convergence of value functions and reservation prices in the case where Q does not depend on n,
₋ Year 2026-2027: generalisation to the case of a sequence (Q n) n.
₋ Year 2027-2028: working on the convergence of the reservation price to the superreplication price with risk aversion. Rédaction of the thesis.
₋ End: September 2028

The mathematical tools for quasi-sure Knightian uncertainty are analytic sets (Suslin kernels on the Borelian sigma-algebra) or Suslin kernels of the product sigma-algebra between the universal sigma-algebra on X and the Borelian sigma-algebra on Y, where X and Y are Polish spaces (see Bertsekas & S. Shreve (2004)). Indeed, on these sets, it is possible to perform measurable selection (Theorem of Jankov von Neumann, generalised by Leese). Very recently, projective sets have also shown their interest in this type of problem linked to Knightian uncertainty.
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Début de la thèse : 01/10/2025

Autre financement public

ANR Financement d'Agences de financement de la recherche*

CentraleSupélec

574 Mathématiques Hadamard

Elève ayant suivi un M2 de mathématiques ou une école d'ingénieurs. Cours souhaités: probabilités avancés, processus, optimisation, convergence des processus, analyse fonctionnelle, finance mathématique en temps discret (AOA, prix de surréplication, fonction d'utilité), théorie des jeux, contrôle stochastique
Student with an M2 in mathematics or from french engineering school. Desired courses: advanced probability, stochastic processes, optimisation, convergence of processes, functional analysis, mathematical finance in discrete time (AOA, supereplication price, utility function), game theory, stochastic control.