Inégalités POlynomiales matricielles projetées sur la base de Bernstein : une nouvelle approche pour le contrôle des systèmes poLYTopiques (IPOLYT) // Matrix polynomial Inequalities projected onto the Bernstein Basis: A new approach for the control of POL

La commande robuste des systèmes non linéaires constitue un enjeu central de l'automatique moderne, notamment dans des domaines tels que l'aéronautique, la robotique, les systèmes embarqués ou les procédés industriels. Pour traiter la complexité inhérente à ces systèmes, les approches dites polytopiques, comme les modèles LPV (Linear Parameter Varying) ou Takagi-Sugeno, offrent une représentation convexe qui facilite l'analyse et la synthèse de lois de commande stabilisantes. Toutefois, ces approches souffrent souvent d'un certain conservatisme, lié au choix de fonctions de Lyapunov candidates trop restrictives ou à la nature des techniques de relaxation employées pour reformuler les conditions de stabilité/stabilisation sous forme d'inégalités matricielles linéaires (LMI).

Le projet de thèse vise à réduire ce conservatisme en explorant une méthode issue de la géométrie algorithmique : la projection des fonctions d'agrégation sur la base de Bernstein, encore rarement exploitée en automatique. Cette base possède des propriétés particulièrement utiles pour déterminer rigoureusement l'enveloppe convexe de fonctions polynomiales multivariables, interpoler des régions d'incertitude, et affiner progressivement les conditions de stabilité, par exemple à l'aide de l'algorithme de de Casteljau ou encore par l'élévation du degré des polynômes de Bernstein.

Ce projet pourra s'appuyer sur deux contributions récentes. La première, menée au CRAN dans le cadre de la thèse de Gustave Bainier, a montré qu'il est possible de reformuler les conditions de stabilité des systèmes Takagi-Sugeno directement sur la base de Bernstein, en réduisant drastiquement le nombre de contraintes LMI. La seconde, développée dans le cadre d'une cotutelle entre le CEFET-MG et le CReSTIC (URCA), concerne les systèmes à retards variables, en particulier la commande échantillonnée de systèmes continus. Elle propose des conditions techniques de relaxation basées sur les polynômes de Bernstein et l'algorithme de de Casteljau, se rapprochant asymptotiquement des solutions nécessaires et suffisantes.

L'objectif de cette thèse est de développer un cadre unifié pour l'analyse et la commande des systèmes non linéaires sur base de Bernstein, selon trois axes principaux :

1. La formulation de nouvelles conditions de stabilité et de performance moins conservatives.
2. L'adaptation de ces méthodes aux systèmes hybrides continus-discrets, en particulier aux systèmes à commande échantillonnée à pas variable ou en réseau.
3. La validation expérimentale sur deux bancs d'essais distincts : la plateforme de drones du CReSTIC (URCA) et le banc de réservoirs non linéaires du CEFET-MG.

Le formalisme proposé permettra notamment de mieux traiter les problèmes de stabilité et de performance en présence d'échantillonnage variable, de retards ou de pertes de paquets dans les systèmes en réseau.

Ce travail s'inscrit dans le cadre d'une cotutelle internationale entre le CReSTIC (Université de Reims Champagne-Ardenne, France) et le CEFET-MG (Brésil), deux institutions partenaires depuis 2019 via un accord de coopération stratégique. Cette collaboration vise à renforcer les échanges scientifiques franco-brésiliens dans le domaine du contrôle robuste et intelligent des systèmes dynamiques. Elle permet de mutualiser les expertises complémentaires des deux laboratoires : modélisation et synthèse de lois de commande au CReSTIC, expérimentation et validation sur procédés physiques complexes au CEFET-MG.

Mots clés : Systèmes polytopiques (LPV, qLPV...), Systèmes polynomiaux, Inégalité Polynomiales Matricielles, Systèmes à retards variables, Commande échantillonnée des systèmes continus, Commande au travers de réseaux de communications.
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Robust control of nonlinear systems is a key challenge in modern control theory, particularly in fields such as aeronautics, robotics, embedded systems, and industrial processes. To handle the inherent complexity of such systems, so-called polytopic approaches—such as LPV (Linear Parameter Varying) and Takagi-Sugeno models—provide a convex representation that facilitates both the analysis and synthesis of stabilizing control laws. However, these approaches often suffer from conservatism, due to the use of overly restrictive Lyapunov candidate functions or the nature of the relaxation techniques employed to reformulate stability/stabilization conditions into linear matrix inequalities (LMIs).

This PhD project aims to reduce such conservatism by leveraging a method drawn from computational geometry: the projection of aggregation functions onto the Bernstein basis, a technique still rarely explored in control theory. This basis offers properties that are particularly useful for rigorously determining the convex hull of multivariate polynomial functions, interpolating uncertainty regions, and progressively refining stability conditions using, for example, the de Casteljau algorithm or the degree elevation property of Bernstein polynomials.

The project builds on two recent contributions. The first, conducted at the CRAN within the PhD work of Gustave Bainier, demonstrated that it is possible to reformulate the stability conditions of Takagi-Sugeno systems directly on the Bernstein basis, drastically reducing the number of LMI constraints. The second, developed as part of a joint PhD between CEFET-MG and CReSTIC (URCA), focuses on systems with time-varying delays, particularly sampled-data control of continuous-time systems. It introduces technical relaxation conditions based on Bernstein polynomials and the de Casteljau algorithm, which asymptotically approach necessary and sufficient solutions.

The objective of this PhD is thus to develop a unified framework for the analysis and control of nonlinear systems using the Bernstein basis, with a focus on three main directions:

1. The formulation of new, less conservative stability/performance conditions.
2. The adaptation of these methods to continuous-discrete hybrid systems, particularly systems under variable sampling or networked control.
3. Experimental validation on two distinct testbeds: the drone platform at CReSTIC (URCA) and the nonlinear tank system at CEFET-MG.

The proposed formalism will enable a finer treatment of stability and performance issues in the presence of variable sampling, delays, or packet losses in networked systems.

This research is part of an international cotutelle between CReSTIC (University of Reims Champagne-Ardenne, France) and CEFET-MG (Brazil), two institutions that have been partners since 2019 under a strategic cooperation agreement. This collaboration aims to strengthen French-Brazilian scientific exchanges in the field of robust and intelligent control of dynamical systems, by combining complementary expertise: modeling and control law synthesis at CReSTIC, and experimentation and validation on complex physical processes at CEFET-MG.

Keywords: Polytopic systems (LPV, qLPV, etc.), Polynomial systems, Polynomial Matrix Inequalities, Time-varying delay systems, Sampled-data control of continuous-time systems, Networked control systems.
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Début de la thèse : 01/10/2025

Contrat doctoral

Concours pour un contrat doctoral

Université de Reims Champagne - Ardenne

620 MPSNI - Mathématiques Physique Sciences du Numérique et de l'Ingénieur

Le(la) candidat(e) devra être titulaire d'un diplôme de Master (ou équivalent) en automatique, mathématiques appliquées ou ingénierie (génie électrique, mécatronique, robotique), avec une solide formation en : • Théorie du contrôle, notamment en commande robuste, commande non linéaire et/ou systèmes à retards ; • Systèmes dynamiques : modélisation, analyse de stabilité, représentation d'état ; • Programmation scientifique : maîtrise de MATLAB/Simulink exigée ; une expérience avec YALMIP, SOSTOOLS ou des solveurs LMI (SeDuMi, Mosek...) est un plus ; • Méthodes numériques et optimisation, en particulier les techniques basées sur les inégalités matricielles (LMI) et la relaxation polynomiale ; • Des connaissances en approximation polynomiale (polynômes de Bernstein, bases de Bézier) ou géométrie algorithmique seraient appréciées. Le(la) candidat(e) doit être pleinement conscient(e) de la spécificité de cette thèse en cotutelle internationale entre la France (URCA – CReSTIC) et le Brésil (CEFET-MG). En effet, il(elle) partagera son temps de recherche entre les deux pays sur la durée des trois années de la thèse, selon un calendrier conjointement défini par les deux établissements. Une implication active est donc attendue dans le développement et la réussite de cette collaboration franco-brésilienne, qui s'appuie sur un partenariat stratégique entre les deux laboratoires. Le(la) candidat(e) devra ainsi faire preuve : • d'une forte motivation pour un travail de recherche dans un contexte international, • d'une réelle autonomie, de rigueur scientifique et d'un bon sens de l'organisation, • d'un bon niveau de communication scientifique en anglais, tant à l'écrit qu'à l'oral, • et d'un goût pour le travail collaboratif interculturel. Remarque : La connaissance du français ou du portugais n'est pas nécessaire pour mener ces travaux de thèse. Cependant, un niveau basique dans l'une de ces langues pourra constituer un atout pour faciliter l'intégration du(de la) doctorant(e) dans son futur environnement de travail, ainsi que pour la vie quotidienne, tant en France qu'au Brésil.
The candidate should hold a Master's degree (or equivalent) in control theory, applied mathematics, or engineering (electrical engineering, mechatronics, robotics), with a strong background in: • Control theory, particularly robust control, nonlinear control, and/or time-delay systems; • Dynamical systems: modeling, stability analysis, state-space representation; • Scientific programming: proficiency in MATLAB/Simulink is required; experience with YALMIP, SOSTOOLS, or LMI solvers (SeDuMi, Mosek, etc.) would be an advantage; • Numerical methods and optimization, particularly techniques based on matrix inequalities (LMI) and polynomial relaxation; • Knowledge of polynomial approximation (Bernstein polynomials, Bézier bases) or computational geometry would be a plus. The PhD candidate will also need to be fully aware of the specifics of this international cotutelle between France (URCA – CReSTIC) and Brazil (CEFET-MG). The candidate will spend time conducting research in both countries over the course of the three-year PhD, according to a schedule jointly agreed upon by both institutions. Active engagement in the development and success of this French-Brazilian collaboration, based on a strategic partnership between the two laboratories, will be expected. The candidate should demonstrate: • Strong motivation for research work in an international context, • Genuine autonomy, scientific rigor, and good organizational skills, • A good level of scientific communication in English, both written and oral, • A desire to work in an intercultural collaborative environment. Note: Knowledge of French or Portuguese is not required to conduct this PhD research. However, a basic level of proficiency in either language may be an advantage, as it will facilitate the candidate's integration into their future work environment and daily life, both in France and Brazil.