Flot géodésique et équation des ondes sur les espaces homogènes // Geodesic flow and wave equation on homogeneous spaces

La formule des traces de Selberg est une identité remarquable qui relie les longueurs des trajectoires géodésiques fermées aux valeurs propres du Laplacien sur une surface hyperbolique.

Nous proposons d'explorer une origine possible de cette formule en termes d'opérateurs : il s'agirait de mettre en évidence une relation entre l'opérateur Laplacien et l'opérateur de dérivation qui génère le flot géodésique. La formule des traces en découlerait alors naturellement en prenant la trace de cette relation.

Une telle perspective est suggérée par des travaux récents sur le spectre de Ruelle des flots géodésiques Anosov [1], et plus particulièrement sur les espaces homogènes [2].

Cette recherche pourrait ouvrir vers des questions analogues pour des groupes semi-simples plus généraux que SL(2,ℝ).

Références
[1] Analyse microlocale des flots Anosov de contact et structure en bandes du spectre de Ruelle, F. Faure et M. Tsujii, Comm. Amer. Math. Soc. 4 (2024), 641–745
[2] Spectre de puissance du flot géodésique sur les variétés hyperboliques, S. Dyatlov, F. Faure, C. Guillarmou, Analysis & PDE 8 (2015), 923–1000
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The Selberg trace formula is a remarkable identity that relates the lengths of closed geodesics to the eigenvalues of the Laplacian on a hyperbolic surface.

We propose to explore a possible operator-theoretic origin of this formula: to find a relation between the Laplacian operator and the derivation operator that generates the geodesic flow. The trace formula would then follow by taking the trace of this relation.

Such an operator relation is suggested by recent works on the Ruelle spectrum of Anosov geodesic flows [1], and more specifically on homogeneous spaces [2].

This research could naturally open toward similar questions for more general semisimple groups beyond SL(2,ℝ).

References
[1] Microlocal analysis of contact Anosov flows and band structure of the Ruelle spectrum, F. Faure and M. Tsujii, Comm. Amer. Math. Soc. 4 (2024), 641–745
[2] Power spectrum of the geodesic flow on hyperbolic manifolds, S. Dyatlov, F. Faure, C. Guillarmou, Analysis & PDE 8 (2015), 923–1000
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Début de la thèse : 01/10/2025

Concours allocations

Université Grenoble Alpes

217 MSTII - Mathématiques, Sciences et technologies de l'information, Informatique

Etudiants avec des solides bases en mathematiques, geometrie differentielle et analyse.
Solid skills in mathematics, geometry and analysis