Invariants universels en topologie de petite dimension // Universal Invariants in Low-Dimensional Topology

Le but de ce projet est d'appliquer la théorie des invariants de type fini, et plus particulièrement certains invariants universels pour cette théorie, tels l'intégrale de Kontsevich et invariant LMO - à l'étude de certains objets 'classiques' de la topologie en petite dimension.
Il se décline en deux directions largement indépendantes.

1. Extraire des représentations du groupes de difféotopies de l'intégrale de Kontsevich.

L'intégrale de Kontsevich est un invariant très riche (conjecturalement complet) des entrelacs de la 3-sphère. Elle fut généralisée par Andersen-Mattes-Reshetikhin (AMR) aux entrelacs de Sx[0,1], où S désigne une surface compacte orientée. Une donnée combinatoire centrale dans leur construction est une certaine décoration d'une triangulation de S : cette même donnée se retrouve dans la présentation donnée par Kashaev de l'espace de Teichmüller décoré de S. Cette description permet en particulier de décrire tout élément du groupe de difféotopies de S (le 'mapping class group') comme une suite d'opérations élémentaires appelées 'flips' sur une triangulation donnée de S.
Il est dès lors possible de d'extraire de nouvelles représentations du groupe de difféotopies de S en étudiant l'effet, au niveau de l'invariant AMR, d'un flip sur une triangulation de la surface. De telles représentations combinatoires donneraient une version significativement plus simple et exploitable que celles données par Andersen-Bene-Meilhan-Penner en 2010 par une approche similaire au niveau des invariants de 3-variétés.

2. Invariant de Casson d'ordre supérieur.

L'invariant LMO des 3-variétés closes se calcule à partir de l'intégrale de Kontsevich d'une présentation de chirurgie par un procédé combinatoire sophistiqué. Il prend ses valeurs dans un espace de diagrammes trivalents, et le coefficient du plus simple de ces diagrammes coïncide (à un facteur près) avec un invariant classique, l'invariant de Casson-Walker-Lescop. Le second terme, en revanche, est un invariant des 3-variétés qui est encore très largement incompris. On peut néanmoins tenter d'utiliser la construction de Kontsevich-LMO pour obtenir une formule de chirurgie globale de cet 'invariant de Casson d'ordre supérieur', noté \lambda_2. Ceci nécessite d'identifier, explicitement, en termes d'invariants d'entrelacs, les coefficients des termes de l'intégrale de Kontsevich qui contribuent à \lambda_2 (ce type de formule approfondissant notre compréhension de l'intégrale de Kontsevich constituant un résultat intéressant en soi), puis une analyse diagrammatique fine de la construction LMO sur ces termes.
Une telle formule de chirurgie pourrait guider ensuite un interprétation topologique de l'invariant \lambda_2, par exemple en termes de représentations du groupe fondamental, comme c'est le cas pour l'invariant de Casson.
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The aim of this project is to apply the theory of finite-type invariants - particularly certain universal invariants within this theory, such as the Kontsevich integral and the LMO invariant -to the study of some ‘classical' objects in low-dimensional topology.
The project unfolds along two largely independent directions.

1. Extracting representations of the diffeotopy group from the Kontsevich integral

The Kontsevich integral is a very rich (conjecturally complete) invariant of links in the 3-sphere. It was generalized by Andersen–Mattes–Reshetikhin (AMR) to links in S×[0,1], where S denotes a compact oriented surface. A central combinatorial ingredient in their construction is a specific decoration of a triangulation of S; this same combinatorial data also appears in Kashaev's description of the decorated Teichmüller space of S. This description, in particular, makes it possible to express any element of the diffeotopy group of S as a sequence of elementary operations called ‘flips' on a given triangulation of SS.
It is therefore possible to extract new representations of the diffeotopy group of S by studying the effect, at the level of the AMR invariant, of flips on a triangulation of the surface. Such combinatorial representations would provide a significantly simpler and more tractable alternative to those given by Andersen–Bene–Meilhan–Penner in 2010, who pursued a similar approach at the level of 3-manifold invariants.

2. Higher-order Casson invariant

The LMO invariant of closed 3-manifolds is computed from the Kontsevich integral of a surgery presentation via a sophisticated combinatorial procedure. It takes values in a space of trivalent diagrams, and the coefficient of the simplest such diagram coincides (up to a known scalar) with a classical invariant: the Casson–Walker–Lescop invariant.
The second term, by contrast, defines a 3-manifold invariant that remains largely unexplored. One may nevertheless attempt to use the Kontsevich–LMO construction to derive a global surgery formula for this ‘higher-order Casson invariant', denoted \lambda_2​. This requires explicitly identifying, in terms of link invariants, the coefficients of the Kontsevich integral that contribute to \lambda_2​ (such a formula would already represent a valuable insight into the structure of the Kontsevich integral), followed by a refined diagrammatic analysis of how these terms behave under the LMO construction.
Such a surgery formula could then guide a topological interpretation of the invariant \lambda_2​, for example in terms of representations of the fundamental group, as is the case for the Casson invariant.
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Début de la thèse : 01/09/2025

Concours allocations

Université Grenoble Alpes

217 MSTII - Mathématiques, Sciences et technologies de l'information, Informatique

Le ou la candidat.e doit avoir une bonne connaissance des outils classiques de la topologie algébrique, et avoir suivi une formation en topologie de petite dimension (noeuds, entrelacs, variétés de dimension 3) de type cours de M2R. Des connaissances sur la théories des invariants de type fini et les invariants universels associés sont de plus hautement souhaitables.
The applicant must have a solid knowledge of the standard tools of algebraic topology, and should have completed training in low-dimensional topology (knots, links, 3-manifolds), such as a Master's-level (M2R) course. Knowledge of finite-type invariant theory and the associated universal invariants is also highly desirable.