Réseaux de tenseurs aléatoires et information quantique // Random tensor networks and quantum information

Le but de la thèse est d'utiliser des outils issus de l'analyse géométrique asymptotique (i.e. des techniques probabilistes dans l'étude des espaces de Banach de dimension grande mais fine) et de la théorie des matrices/tenseurs aléatoires afin de s'attaquer à des questions apparaissant en théorie quantique de l'information et en physique quantique de la matière condensée. En particulier, nous souhaitons comprendre les propriétés typiques des systèmes quantiques multi-corps. On sait que les états physiquement pertinents de tels systèmes (comme par exemple les états de basse énergie de Hamiltoniens locaux, les états de sortie de circuits quantiques peu profonds, etc) sont bien approximés par des états dits réseaux de tenseurs. Ces derniers ont l'intérêt pratique d'être décrits par un nombre de paramètres qui croît linéairement et non exponentiellement avec le nombre de sous-systèmes. Il y aura trois axes de recherche principaux dans cette thèse:
1) Etudier les aspects génériques de propriétés liées à l'intrication pour les états réseaux de tenseurs, construits sur des graphes sous-jacents variés et à partir de tenseurs locaux ayant divers types de symétries.
2) Etudier les caractéristiques génériques des mécanismes à l'origine de tels états, à savoir les Hamiltoniens locaux, les circuits et automates cellulaires quantiques, etc.
3) Comprendre les connexions entre ces problématiques, motivées par la physique quantique de la matière condensée, et des questions d'approximation de canaux quantiques importantes en cryptographie et codes correcteurs d'erreurs quantiques.
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The goal of the PhD is to use tools from asymptotic geometric analysis (i.e. probabilistic techniques in the study of finite but high-dimensional Banach spaces) and random matrix/tensor theory to tackle questions arising in quantum information theory and quantum condensed matter physics. In particular, we want to understand the typical properties of many-body quantum systems. We know that the physically relevant states of such systems (such as for instance low-energy states of local Hamiltonians, output states of low-depth quantum circuits, etc) are well approximated by so-called tensor network states. The latter have the practical interest of being described by a number of parameters that grows linearly rather than exponentially with the number of sub-systems. There will be three main research axes in this PhD:
1) Study the generic aspects of entanglement-related properties for tensor network states, constructed on various underlying graphs and from local tensors having various types of symmetries.
2) Study the generic characteristics of the mechanisms behind such states, namely local Hamiltonians, quantum circuits and cellular automata, etc.
3) Understand the connections between these issues, motivated by quantum condensed matter physics, and questions of quantum channel approximation that are important in quantum cryptography and error-correction codes.
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Début de la thèse : 01/10/2025

Concours allocations

Université Grenoble Alpes

217 MSTII - Mathématiques, Sciences et technologies de l'information, Informatique

Nous recherchons un-e candidat-e qui soit motivé-e pour travailler sur des problèmes à l'interface entre mathématiques, physique et informatique. Le ou la candidat-e doit détenir un diplôme de master dans l'un de ces domaines. Il ou elle doit être familier avec le formalisme mathématique de la mécanique quantique et avoir des connaissances solides en algèbre linéaire. En outre, il ou elle doit être prêt-e à travailler avec la variété d'outils mathématiques impliqués dans l'étude du comportement asymptotique des matrices et tenseurs aléatoires: probabilités libres, concentration de la mesure, normes tensorielles, etc.
We are looking for a PhD candidate who is highly motivated to work on problems at the interface between mathematics, physics and computer science. The candidate must have a master degree in either of these fields. They should be familiar with the mathematical formalism of quantum mechanics and have a solid knowledge of linear algebra. Moreover, they should be willing to work with the variety of mathematical tools involved in the study of the asymptotic behavior of random matrices and tensors: free probability, concentration of measure, tensor norms, etc.