Structures de Garside et représentation de Khovanov-Seidel pour les tresses // Garside structures and Khovanov-Seidel braid representations

Le but est d'étudier l'utilisation des structures de Garside pour étudier la fidélité des représentations de Khovanov-Seidel des groupes d'Artin-Tits.

Les groupes d'Artin-Tits sont des groupes de symétries associés aux groupes quantiques, qui généralisent les groupes de tresses. Leur étude algébrique et géométrique est particulièrement riche, et difficile en toute généralité. L'utilisation d'une structure dite 'de Garside', qui permet une écriture privilégiée des éléments et des propriétés algorithmiques fortes, est particulièrement utile, mais on ne connaît que très peu d'exemples de telles structures.
Thomas Haettel (avec Jingyin Huang, Duke Math. Journal, 2024) a récemment découvert de nouvelles structures de Garside. L'étudiante ou l'étudiant cherchera à utiliser ces structures pour (re)prouver la fidélité de la représentation de Khovanov-Seidel, en suivant une stratégie de preuve mise en place en type sphérique par Anthony Licata et Hoel Queffelec (Annales Scientifiques de l'ENS, 2021). Cette fidélité implique notamment celle de la représentation par bimodules de Soergel, qui est conjecturée et est l'objet d'études soutenues depuis une vingtaine d'années.
Dans un second temps, nous chercherons également à relâcher la condition de finitude des atomes pour étendre la classe des groupes d'Artin-Tits sur lesquels appliquer la même stratégie de preuve. L'une des stratégies est notamment d'étendre le groupe d'Artin-Tits pour qu'il contienne un nouvel élément faisant office d'élément de Garside, et qui correspond au décalage triangulé de la catégorie sur laquelle le groupe agit.
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Summary

The goal is to use Garside structures to study the faithfulness of Khovanov-Seidel braid representation for Artin-Tits groups.

Artin-Tits groups are symmetry groups associated to quantum groups, which generalize braid groups. Their algebraic and geometric study is particularly rich, and difficult in broad generality. The use of a so-called Garside structure, which allows for a preferred writing of elements and strong algorithmic properties, is very useful, but only few examples are known.
Thomas Haettel (with Jingyin Huang, Duke Math. Journal, 2024) recently discored new Garside structures. The PhD student will try using these Garside structures to (re)prove the faithfulness of the Khovanov-Seidel representation, following a proof strategy used in spherical type by Anthony Licata and Hoel Queffelec (Annales Scientifiques de l'ENS, 2021). Such faithfulness results imply in particular the faithfulness of the representation on Soergel bimodules, which is conjectural and has been much studied in the last twenty years.
Then, we will aim at generalizing the strategy when the number of atoms is infinite, to extend this strategy proof to a larger class of Artin-Tits groups. One of the possibilities is to extend the Artin-Tits group for it to contain a new element acting like a Garside element, which corresponds to the triangulated shift on the category on which the group acts.
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Début de la thèse : 01/10/2025

Financement d'une fondation pour la recherche française

Université de Montpellier

166 I2S - Information, Structures, Systèmes

Master en mathématiques fondamentales, avec une familiarité dans au moins certains des domaines suivants : - groupes de tresses, groupes d'Artin-Tits ; - catégories triangulées ; - algèbre homologique, catégorification ; - théorie géométrique des groupes.
Master in pure mathematics, with familiarity with at least some of the following fields: - braid and Artin-Tits groups; - triangulated categories; - homological algebra, categofication; - geometric group theory.